Номер 4, страница 387 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 7. Движение твёрдого тела. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Упражнение 13 - номер 4, страница 387.

Условие.

4. На прямоугольный клин $ABC$ массой $\text{M}$, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но меньший по размерам клин $BED$ массой $\text{m}$ (рис. 7.27). Определите, на какое расстояние $\text{x}$ сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнёт вниз и точка $\text{D}$ совместится с точкой $\text{C}$. Длины катетов $AC$ и $BE$ равны соответственно $\text{a}$ и $\text{b}$.

Рис. 7.27

Решение.

Дано:

Масса большого клина: $M$

Масса малого клина: $m$

Длина горизонтального катета большого клина: $a$

Длина горизонтального катета малого клина: $b$

Трение отсутствует.

Найти:

Расстояние смещения большого клина: $x$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух клиньев. Поскольку большой клин лежит на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, сумма внешних сил, действующих на систему в горизонтальном направлении, равна нулю. Согласно закону сохранения импульса, если система изначально покоилась, ее центр масс не будет перемещаться по горизонтали в процессе движения.

Введем одномерную систему координат с осью $Ox$, направленной горизонтально вправо. За начало отсчета ($x=0$) примем начальное положение точки A (левый нижний угол большого клина).

Координата центра масс системы в любой момент времени определяется формулой:

$X_{ЦМ} = \frac{M \cdot x_M + m \cdot x_m}{M+m}$

где $x_M$ и $x_m$ — координаты центров масс большого и малого клиньев соответственно.

Для прямоугольного треугольника центр масс находится на расстоянии $1/3$ длины катета от соответствующего катета.

1. Начальное положение.

В начальный момент времени точка A находится в $x=0$. Вершины большого клина ABC находятся в точках с x-координатами A(0), C(a), B(0). Координата центра масс большого клина:

$x_{M,1} = \frac{a}{3}$

Малый клин BED расположен так, что его вершина B совпадает с вершиной B большого клина (x=0), а катет BE длиной $b$ горизонтален. Вершины малого клина имеют x-координаты B(0), E(b), D(b). Координата центра масс малого клина:

$x_{m,1} = \frac{0+b+b}{3} = \frac{2b}{3}$

Начальная координата центра масс всей системы:

$X_{ЦМ,1} = \frac{M \cdot \frac{a}{3} + m \cdot \frac{2b}{3}}{M+m} = \frac{Ma + 2mb}{3(M+m)}$

2. Конечное положение.

Большой клин сместился влево на искомое расстояние $x$. Теперь его точка A находится в координате $-x$. Координата центра масс большого клина сместилась на $-x$ и стала равна:

$x_{M,2} = \frac{a}{3} - x$

Малый клин соскользнул вниз, и его точка D совместилась с точкой C большого клина. Новая координата точки C: $a-x$. Таким образом, точка D малого клина находится в $x=a-x$. Вершины малого клина в конечном положении имеют x-координаты: D($a-x$), E($a-x$), B($a-x-b$). Координата центра масс малого клина:

$x_{m,2} = \frac{(a-x-b) + (a-x) + (a-x)}{3} = \frac{3(a-x) - b}{3} = a-x-\frac{b}{3}$

Конечная координата центра масс всей системы:

$X_{ЦМ,2} = \frac{M \cdot (\frac{a}{3} - x) + m \cdot (a-x-\frac{b}{3})}{M+m}$

3. Применение закона сохранения.

Так как центр масс системы по горизонтали не смещается, приравниваем его начальную и конечную координаты:

$X_{ЦМ,1} = X_{ЦМ,2}$

$\frac{Ma + 2mb}{3(M+m)} = \frac{M(\frac{a}{3} - x) + m(a-x-\frac{b}{3})}{M+m}$

Умножим обе части уравнения на $3(M+m)$:

$Ma + 2mb = 3M(\frac{a}{3} - x) + 3m(a-x-\frac{b}{3})$

$Ma + 2mb = Ma - 3Mx + 3ma - 3mx - mb$

Сокращаем $Ma$ в обеих частях:

$2mb = -3Mx + 3ma - 3mx - mb$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $x$:

$3Mx + 3mx = 3ma - mb - 2mb$

$3x(M+m) = 3ma - 3mb$

Разделим обе части на 3:

$x(M+m) = m(a-b)$

Отсюда находим искомое расстояние $x$:

$x = \frac{m(a-b)}{M+m}$

Ответ: $x = \frac{m(a-b)}{M+m}$