Номер 6, страница 375 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 12. Параграф 7.2. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 6, страница 375.

Условие.

6. Кривошип OA, вращаясь с угловой скоростью $\omega = 2,5 \text{ рад/с}$, приводит в движение колесо радиусом $AB = r = 5 \text{ см}$, катящееся по неподвижному колесу радиусом $R = 15 \text{ см}$ (рис. 7.14). Найдите скорость точки B.

Рис. 7.14

Решение.

Дано:

Угловая скорость кривошипа, $\omega = 2,5$ рад/с

Радиус малого колеса, $r = 5$ см

Радиус неподвижного колеса, $R = 15$ см

Перевод в систему СИ:

$r = 0,05$ м

$R = 0,15$ м

Найти:

Скорость точки В, $v_B$

Решение:

Движение малого колеса является сложным (плоско-параллельным). Его можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс (точки A) и вращательного движения вокруг этого центра.

1. Найдем скорость точки A. Точка A, являясь центром малого колеса, движется по окружности вокруг точки O. Радиус этой окружности равен сумме радиусов большого и малого колес: $OA = R + r$. Так как кривошип OA вращается с угловой скоростью $\omega$, линейная скорость точки A равна:

$v_A = \omega \cdot OA = \omega (R + r)$

2. Рассмотрим движение малого колеса. Оно катится по неподвижной поверхности большого колеса без проскальзывания. Это означает, что точка касания малого колеса с большим является мгновенным центром скоростей (МЦС). Скорость любой точки малого колеса равна произведению его угловой скорости $\omega'$ на расстояние от этой точки до МЦС.

Скорость центра A равна $v_A = \omega' \cdot r$, где $r$ - расстояние от центра A до точки касания (радиус малого колеса).

Точка B находится на вершине малого колеса, в момент, показанный на рисунке, она диаметрально противоположна точке касания. Расстояние от точки B до МЦС равно диаметру малого колеса, то есть $2r$.

Скорость точки B в таком случае равна:

$v_B = \omega' \cdot (2r) = 2 (\omega' \cdot r)$

Так как $v_A = \omega' \cdot r$, то мы можем выразить скорость точки B через скорость точки A:

$v_B = 2 v_A$

Подставим в это выражение формулу для $v_A$, полученную в первом пункте:

$v_B = 2 \omega (R + r)$

3. Произведем вычисления, подставив числовые значения в итоговую формулу:

$v_B = 2 \cdot 2,5 \frac{рад}{с} \cdot (0,15 м + 0,05 м) = 5 \frac{рад}{с} \cdot 0,20 м = 1,0 \frac{м}{с}$

Ответ: скорость точки В равна $1,0$ м/с.