Номер 2, страница 375 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 12. Параграф 7.2. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 2, страница 375.

Условие.

2. Найдите модули линейной скорости и нормального ускорения точек поверхности земного шара: а) на экваторе; б) на широте 60°. Средний радиус земного шара считать равным 6400 км.

Решение.

Дано.

Средний радиус земного шара, $R = 6400$ км

Широта для пункта а), $\phi_a = 0^\circ$

Широта для пункта б), $\phi_b = 60^\circ$

Период вращения Земли, $T = 24$ ч

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$T = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

а) $v_a$, $a_{na}$

б) $v_b$, $a_{nb}$

Решение

Все точки на поверхности Земли участвуют в ее суточном вращении. Они движутся по окружностям с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Угловая скорость связана с периодом вращения $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Линейная скорость $v$ и нормальное (центростремительное) ускорение $a_n$ точки, вращающейся по окружности радиусом $r$, определяются формулами:

$v = \omega r$

$a_n = \omega^2 r$

Радиус окружности, по которой движется точка на поверхности Земли на широте $\phi$, равен $r = R \cos\phi$, где $R$ — радиус Земли.

Тогда формулы для линейной скорости и нормального ускорения примут вид:

$v = \omega R \cos\phi = \frac{2\pi R \cos\phi}{T}$

$a_n = \omega^2 R \cos\phi = (\frac{2\pi}{T})^2 R \cos\phi$

Вычислим угловую скорость вращения Земли:

$\omega = \frac{2 \cdot 3.14159}{86400 \text{ с}} \approx 7.27 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с}$

а) на экваторе

На экваторе широта $\phi_a = 0^\circ$, следовательно $\cos 0^\circ = 1$. Радиус вращения $r_a$ равен радиусу Земли $R$.

Линейная скорость:

$v_a = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2 \cdot 3.14159 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \approx 465 \text{ м/с}$

Нормальное ускорение:

$a_{na} = \omega^2 R = (7.27 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с})^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \approx 0.034 \text{ м/с}^2$

Ответ: линейная скорость $v_a \approx 465$ м/с; нормальное ускорение $a_{na} \approx 0.034$ м/с².

б) на широте 60°

На широте $\phi_b = 60^\circ$, следовательно $\cos 60^\circ = 0.5$. Радиус вращения $r_b = R \cos 60^\circ = R/2$.

Линейная скорость:

$v_b = \frac{2\pi R \cos 60^\circ}{T} = v_a \cos 60^\circ = 465 \text{ м/с} \cdot 0.5 = 232.5 \text{ м/с}$

Нормальное ускорение:

$a_{nb} = \omega^2 R \cos 60^\circ = a_{na} \cos 60^\circ = 0.034 \text{ м/с}^2 \cdot 0.5 = 0.017 \text{ м/с}^2$

Ответ: линейная скорость $v_b \approx 233$ м/с; нормальное ускорение $a_{nb} \approx 0.017$ м/с².