Номер 2, страница 372 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 7.1. Абсолютно твёрдое тело и виды его движения. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 2, страница 372.

Условие.

2. Каковы кинематические особенности описания различных видов движения абсолютно твёрдого тела?

Решение.

Абсолютно твёрдое тело — это система материальных точек, расстояние между любыми двумя из которых остаётся постоянным в процессе движения. Это идеализированная модель, которая позволяет упростить описание движения. Любое движение абсолютно твёрдого тела можно представить как комбинацию двух основных видов движения: поступательного и вращательного.

Поступательное движение

Это движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с телом, остаётся параллельной своему начальному положению. Кинематической особенностью такого движения является то, что все точки тела движутся одинаково: в любой момент времени их скорости и ускорения равны как по модулю, так и по направлению. Поэтому для описания поступательного движения достаточно задать закон движения одной любой его точки (например, центра масс). Радиус-вектор $\vec{r}_i$ любой точки $i$ тела связан с радиус-вектором центра масс $\vec{r}_C$ соотношением $\vec{r}_i(t) = \vec{r}_C(t) + \vec{const}$. Соответственно, скорости и ускорения всех точек равны: $\vec{v}_i(t) = \vec{v}_C(t)$ и $\vec{a}_i(t) = \vec{a}_C(t)$. Такое движение имеет три степени свободы, соответствующие трём координатам положения тела в пространстве.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Кинематической особенностью является то, что движение тела полностью описывается одной величиной — углом поворота $\phi(t)$. Основными характеристиками служат угловая скорость $\vec{\omega}$ и угловое ускорение $\vec{\varepsilon}$, которые являются векторами, направленными вдоль оси вращения. Линейная скорость $\vec{v}$ и ускорение $\vec{a}$ любой точки тела определяются её положением относительно оси вращения и угловыми характеристиками:

– Скорость точки: $\vec{v} = [\vec{\omega} \times \vec{r}]$, где $\vec{r}$ — радиус-вектор точки от оси вращения.

– Ускорение точки: $\vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_{n} = [\vec{\varepsilon} \times \vec{r}] + [\vec{\omega} \times [\vec{\omega} \times \vec{r}]]$, где $\vec{a}_{\tau}$ — тангенциальное ускорение, а $\vec{a}_{n}$ — нормальное (центростремительное) ускорение.

Такое движение имеет одну степень свободы (угол поворота).

Плоскопараллельное (плоское) движение

Это движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Согласно теореме Шаля, такое движение можно разложить на поступательное движение, совпадающее с движением произвольно выбранной точки тела (полюса), и вращательное движение вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости движения. Кинематические уравнения, связывающие скорости и ускорения двух любых точек тела A (полюс) и B:

– $\vec{v}_B = \vec{v}_A + [\vec{\omega} \times \vec{r}_{BA}]$

– $\vec{a}_B = \vec{a}_A + [\vec{\varepsilon} \times \vec{r}_{BA}] + [\vec{\omega} \times [\vec{\omega} \times \vec{r}_{BA}]]$

где $\vec{r}_{BA}$ — радиус-вектор, проведённый из точки A в точку B. Важной особенностью является существование мгновенного центра скоростей — точки, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Плоское движение имеет три степени свободы (две координаты полюса и угол поворота).

Свободное (пространственное) движение

Это самый общий случай движения твёрдого тела. Его также можно представить как сумму поступательного движения полюса (обычно центра масс) и вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс. Кинематические уравнения для скоростей и ускорений имеют тот же вид, что и для плоского движения, однако векторы угловой скорости $\vec{\omega}$ и углового ускорения $\vec{\varepsilon}$ могут изменять свое направление в пространстве. Для полного описания положения тела в пространстве требуется шесть независимых координат (три для положения центра масс и три, например, угла Эйлера, для описания ориентации), поэтому свободное твёрдое тело имеет шесть степеней свободы.

Ответ:

Кинематические особенности описания движения абсолютно твёрдого тела определяются типом этого движения. Поступательное движение описывается движением одной точки, так как все точки тела имеют одинаковые скорости и ускорения (3 степени свободы). Вращательное движение вокруг неподвижной оси описывается одной угловой координатой, а линейные характеристики движения точек зависят от их расстояния до оси (1 степень свободы). Плоскопараллельное и свободное (пространственное) движение являются сложными и описываются как наложение поступательного движения некоторой точки (полюса) и вращательного движения вокруг этого полюса. При этом для плоского движения нужно 3 степени свободы, а для свободного — 6.