Номер 3, страница 375 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 12. Параграф 7.2. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 3, страница 375.

Условие.

3. Диск радиусом $\text{R}$ зажат между двумя параллельными рейками (рис. 7.11). Нижняя рейка неподвижна, а верхняя движется со скоростью $v = 4$ м/с. Определите скорость точки $\text{B}$ диска относительно неподвижного наблюдателя, если проскальзывание отсутствует.

Рис. 7.11

Решение.

Дано:

Радиус диска: $R$

Скорость верхней рейки: $v = 4$ м/с

Скорость нижней рейки: $v_{нижн} = 0$

Условие: проскальзывание отсутствует.

Данные приведены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Скорость точки В диска относительно неподвижного наблюдателя, $\vec{v}_B$.

Решение:

Движение диска является плоским движением, которое можно разложить на поступательное движение со скоростью центра масс $\vec{v}_c$ и вращательное движение вокруг центра масс с угловой скоростью $\vec{\omega}$. Скорость любой точки диска $\vec{v}_{т}$ находится как векторная сумма скорости центра масс и линейной скорости вращательного движения этой точки: $\vec{v}_{т} = \vec{v}_c + \vec{v}_{вращ}$.

1. Условие отсутствия проскальзывания на нижней рейке.

Нижняя рейка неподвижна, значит, скорость точки диска, которая касается этой рейки (нижняя точка $P_{нижн}$), равна нулю.

$\vec{v}_{P_{нижн}} = \vec{v}_c + \vec{v}_{вращ, нижн} = 0$.

Вектор скорости центра масс $\vec{v}_c$ направлен горизонтально (предположим, вправо), а вектор линейной скорости вращения $\vec{v}_{вращ, нижн}$ в нижней точке направлен в противоположную сторону (влево). Для того чтобы их сумма была равна нулю, их модули должны быть равны:

$v_c = v_{вращ, нижн} = \omega R$ (1)

2. Условие отсутствия проскальзывания на верхней рейке.

Верхняя рейка движется со скоростью $v$. Значит, скорость точки диска, которая касается верхней рейки (верхняя точка $P_{верх}$), равна $v$.

$\vec{v}_{P_{верх}} = \vec{v}_c + \vec{v}_{вращ, верх}$.

В верхней точке диска векторы скорости центра масс $\vec{v}_c$ и скорости вращательного движения $\vec{v}_{вращ, верх}$ сонаправлены (оба направлены вправо). Поэтому их модули складываются:

$v = v_c + v_{вращ, верх} = v_c + \omega R$ (2)

3. Определение скорости центра масс и угловой скорости.

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_c = \omega R \\ v = v_c + \omega R \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$v = (\omega R) + \omega R = 2\omega R$

Отсюда находим скорость центра масс диска:

$v_c = \omega R = \frac{v}{2}$

Подставим числовое значение $v = 4$ м/с:

$v_c = \frac{4}{2} = 2$ м/с.

4. Определение скорости точки B.

Скорость точки B ($\vec{v}_B$) также является векторной суммой скорости центра масс $\vec{v}_c$ и линейной скорости вращения точки B вокруг центра $\vec{v}_{вращ, B}$.

$\vec{v}_B = \vec{v}_c + \vec{v}_{вращ, B}$

Вектор $\vec{v}_c$ направлен горизонтально вправо, его модуль $v_c = 2$ м/с.

Вращение диска происходит по часовой стрелке. Вектор $\vec{v}_{вращ, B}$ направлен по касательной к траектории движения точки B, то есть вертикально вверх. Его модуль равен:

$v_{вращ, B} = \omega R = v_c = 2$ м/с.

Таким образом, скорость точки B является результатом сложения двух перпендикулярных векторов с равными модулями. Модуль результирующей скорости $|\vec{v}_B|$ найдем по теореме Пифагора:

$|\vec{v}_B| = \sqrt{v_c^2 + v_{вращ, B}^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ м/с.

Приближенное значение: $|\vec{v}_B| \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828$ м/с.

Направление вектора скорости $\vec{v}_B$ определяется углом $\alpha$ к горизонту:

$\tan\alpha = \frac{v_{вращ, B}}{v_c} = \frac{2}{2} = 1$

Следовательно, угол $\alpha = 45^{\circ}$.

Ответ:

Скорость точки B по модулю равна $2\sqrt{2}$ м/с (приблизительно 2.83 м/с) и направлена под углом $45^{\circ}$ к горизонту в сторону движения верхней рейки.