Номер 1, страница 374 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 12. Параграф 7.2. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 1, страница 374.

Условие.

Упражнение 12

1. Линейная скорость точек окружности вращающегося диска равна $v_1 = 3 \text{ м/с}$, а точек, находящихся ближе к оси вращения на расстояние $l = 10 \text{ см}$, $v_2 = 2 \text{ м/с}$. Сколько оборотов в минуту делает диск?

Решение.

1. Дано:

$v_1 = 3$ м/с

$v_2 = 2$ м/с

$l = 10$ см

$l = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$n$ - ?

Решение:

Все точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеют одинаковую угловую скорость $\omega$. Линейная скорость $v$ точки связана с угловой скоростью $\omega$ и расстоянием $r$ от оси вращения соотношением $v = \omega r$.

Пусть $R$ - это радиус диска. Тогда линейная скорость точек на его окружности, находящихся на расстоянии $r_1 = R$ от оси вращения, равна:

$v_1 = \omega R \quad (1)$

Линейная скорость точек, находящихся на расстоянии $r_2 = R - l$ от оси вращения, равна:

$v_2 = \omega (R - l) \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $R$ и $\omega$. Нам необходимо найти угловую скорость $\omega$. Для этого выразим радиус $R$ из первого уравнения:

$R = \frac{v_1}{\omega}$

Теперь подставим полученное выражение для $R$ во второе уравнение:

$v_2 = \omega (\frac{v_1}{\omega} - l)$

Раскроем скобки:

$v_2 = v_1 - \omega l$

Из этого уравнения выразим угловую скорость $\omega$:

$\omega l = v_1 - v_2$

$\omega = \frac{v_1 - v_2}{l}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$\omega = \frac{3 \text{ м/с} - 2 \text{ м/с}}{0,1 \text{ м}} = \frac{1 \text{ м/с}}{0,1 \text{ м}} = 10 \text{ рад/с}$

Угловая скорость связана с частотой вращения $f$ (число оборотов в секунду, Гц) формулой $\omega = 2\pi f$. Выразим отсюда частоту $f$:

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \text{ об/с}$

В задаче требуется найти число оборотов в минуту $n$. В одной минуте 60 секунд, поэтому, чтобы перевести обороты в секунду в обороты в минуту, нужно умножить значение на 60:

$n = f \cdot 60 = \frac{5}{\pi} \cdot 60 = \frac{300}{\pi} \text{ об/мин}$

Для получения числового ответа, примем значение $\pi \approx 3,14$:

$n \approx \frac{300}{3,14} \approx 95,5 \text{ об/мин}$

Ответ: Диск делает примерно 95,5 оборотов в минуту.