Номер 26, страница 365 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 11. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Глава 6. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике - номер 26, страница 365.

Условие.

26. Лента транспортёра длиной $\text{l}$ движется со скоростью $v_0$ (рис. 6.32). С какой скоростью $\text{v}$ нужно толкнуть кубик массой $\text{m}$ против движения ленты, чтобы уменьшение механической энергии за счёт работы силы трения между кубиком и лентой транспортёра было максимальным? Чему равно это уменьшение механической энергии $\Delta E$, если коэффициент трения равен $\mu$ и выполняется условие $v_0^2 < 2\mu lg$?

Рис. 6.32

Решение.

Дано:

$l$ - длина ленты транспортёра

$v_0$ - скорость ленты транспортёра

$m$ - масса кубика

$v$ - начальная скорость кубика

$μ$ - коэффициент трения

Условие: $v_0^2 < 2μlg$

Найти:

$v$ - скорость, при которой уменьшение механической энергии $ΔE$ максимально.

$ΔE_{max}$ - максимальное уменьшение механической энергии.

Решение:

Уменьшение механической энергии $ΔE$ в данной системе происходит за счёт работы силы трения. Эта работа полностью переходит во внутреннюю энергию (теплоту). Величина этой работы равна произведению модуля силы трения скольжения на модуль относительного перемещения (пути) кубика по ленте:

$ΔE = A_{тр} = F_{тр} \cdot s_{отн}$

Сила трения скольжения постоянна и по модулю равна $F_{тр} = μN = μmg$, где $N$ - сила нормальной реакции, равная силе тяжести $mg$.

Чтобы уменьшение энергии $ΔE$ было максимальным, необходимо максимизировать путь относительного проскальзывания $s_{отн}$. Проскальзывание происходит до тех пор, пока кубик находится на ленте и его скорость отличается от скорости ленты. Максимальный путь проскальзывания будет достигнут, если кубик будет находиться на ленте максимально возможное время, пока существует относительное движение. Это соответствует случаю, когда кубик, брошенный против движения ленты, останавливается (в лабораторной системе отсчёта) точно на противоположном конце ленты.

С какой скоростью v нужно толкнуть кубик, чтобы уменьшение механической энергии было максимальным?

Выберем систему отсчёта, связанную с землёй. Ось $Ox$ направим в сторону начальной скорости кубика $v$ (против движения ленты). На кубик действует сила трения, направленная в противоположную сторону (вдоль движения ленты), создавая ускорение $a = -μg$.

Воспользуемся формулой для равноускоренного движения, связывающей начальную и конечную скорости с пройденным путём: $v_{кон}^2 - v_{нач}^2 = 2as$.

В нашем случае конечная скорость кубика $v_{кон} = 0$, начальная скорость $v_{нач} = v$, ускорение $a = -μg$. Путь $s$, который пройдёт кубик до остановки, для максимального проскальзывания должен быть равен длине ленты $l$.

$0^2 - v^2 = 2(-μg)l$

Отсюда находим искомую скорость $v$:

$v^2 = 2μgl \implies v = \sqrt{2μgl}$

Заданное в условии неравенство $v_0^2 < 2μlg$ означает, что $v_0 < \sqrt{2μgl}$, то есть $v_0 < v$. Это обеспечивает, что после остановки кубик начнёт двигаться в обратную сторону под действием силы трения, и весь процесс, который мы рассматриваем для нахождения $ΔE$, физически возможен.

Ответ: Скорость, при которой уменьшение механической энергии максимально, равна $v = \sqrt{2μgl}$.

Чему равно это уменьшение механической энергии ΔE?

Для нахождения максимального уменьшения энергии $ΔE_{max}$ необходимо рассчитать полный относительный путь $s_{отн}$ для найденной оптимальной скорости $v = \sqrt{2μgl}$.

Удобнее всего рассчитать $s_{отн}$, перейдя в систему отсчёта, связанную с лентой транспортёра. В этой системе отсчёта лента неподвижна. Кубик в начальный момент времени имеет скорость, равную векторной сумме его скорости относительно земли и скорости системы отсчёта (ленты). Так как скорости направлены в противоположные стороны, их модули складываются:

$v'_{нач} = v + v_0$

Скольжение прекращается, когда скорость кубика относительно ленты становится равной нулю, то есть $v'_{кон} = 0$. Ускорение кубика в этой системе отсчёта такое же, $a' = -μg$.

Пройденный относительный путь $s_{отн}$ находится из формулы $(v'_{кон})^2 - (v'_{нач})^2 = 2a's_{отн}$:

$0^2 - (v + v_0)^2 = 2(-μg)s_{отн}$

$s_{отн} = \frac{(v + v_0)^2}{2μg}$

Теперь можем найти максимальное уменьшение энергии, подставив в эту формулу найденное значение $v = \sqrt{2μgl}$:

$ΔE_{max} = F_{тр} \cdot s_{отн} = μmg \cdot \frac{(\sqrt{2μgl} + v_0)^2}{2μg}$

$ΔE_{max} = \frac{1}{2}m(\sqrt{2μgl} + v_0)^2$

Ответ: Максимальное уменьшение механической энергии равно $ΔE = \frac{1}{2}m(\sqrt{2μgl} + v_0)^2$.