Номер 20, страница 363 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 11. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Глава 6. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике - номер 20, страница 363.

Условие.

20. От поезда массой $M = 600 \text{ т}$, идущего с постоянной скоростью по прямолинейному горизонтальному пути, отрывается последний вагон массой $m = 60 \text{ т}$. Какое расстояние до остановки пройдёт этот вагон, если в момент его остановки поезд движется с постоянной скоростью 40 км/ч? Мощность тепловоза, ведущего состав вагонов, постоянна и равна $N = 1 \text{ МВт}$.

Решение.

Дано

Масса поезда $M = 600 \text{ т} = 600 \cdot 10^3 \text{ кг} = 6 \cdot 10^5 \text{ кг}$

Масса вагона $m = 60 \text{ т} = 60 \cdot 10^3 \text{ кг} = 6 \cdot 10^4 \text{ кг}$

Конечная скорость поезда $v_2 = 40 \text{ км/ч} = 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{9} \text{ м/с}$

Мощность тепловоза $N = 1 \text{ МВт} = 10^6 \text{ Вт}$

Найти:

Расстояние до остановки вагона $S$.

Решение

По условию, поезд движется с постоянной скоростью как до отцепки вагона, так и в момент его остановки. Это означает, что в обоих случаях сила тяги тепловоза $F_{тяг}$ уравновешена суммарной силой сопротивления движению $F_{сопр}$. Мощность тепловоза $N$ постоянна и связана с силой тяги и скоростью соотношением $N = F_{тяг} \cdot v$.

Будем считать, что сила сопротивления движению пропорциональна массе состава, то есть $F_{сопр} = k \cdot M_{состава}$, где $k$ — коэффициент, представляющий собой силу сопротивления на единицу массы.

1. В момент остановки вагона оставшаяся часть поезда массой $(M-m)$ движется с постоянной скоростью $v_2$. Сила тяги тепловоза в этот момент равна $F_{тяг2} = \frac{N}{v_2}$. Сила сопротивления равна $F_{сопр2} = k(M-m)$. Из условия равновесия сил $F_{тяг2} = F_{сопр2}$ получаем:

$\frac{N}{v_2} = k(M-m)$

Отсюда можно выразить коэффициент $k$:

$k = \frac{N}{v_2(M-m)}$

2. До отцепки вагона весь поезд массой $M$ двигался с постоянной скоростью $v_1$. Сила тяги была $F_{тяг1} = \frac{N}{v_1}$, а сила сопротивления $F_{сопр1} = kM$. Из равенства сил $F_{тяг1} = F_{сопр1}$ следует:

$\frac{N}{v_1} = kM$

Выразим отсюда начальную скорость $v_1$ и подставим найденное ранее выражение для $k$:

$v_1 = \frac{N}{kM} = \frac{N}{M} \cdot \frac{v_2(M-m)}{N} = v_2 \frac{M-m}{M}$

3. После отцепки на вагон массой $m$ действует только сила сопротивления $F_{сопр.ваг} = k \cdot m$. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает вагону ускорение $a$, направленное против движения:

$m \cdot a = -F_{сопр.ваг} \implies a = -\frac{k \cdot m}{m} = -k$

Движение вагона является равнозамедленным. Его начальная скорость равна $v_1$, конечная — 0. Путь $S$, пройденный до остановки, можно найти по формуле $v_{конеч}^2 - v_{началь}^2 = 2aS$:

$0^2 - v_1^2 = 2(-k)S$

Отсюда находим путь $S$:

$S = \frac{v_1^2}{2k}$

4. Подставим в формулу для $S$ полученные выражения для $v_1$ и $k$:

$S = \frac{\left(v_2 \frac{M-m}{M}\right)^2}{2 \cdot \frac{N}{v_2(M-m)}} = \frac{v_2^2 \frac{(M-m)^2}{M^2}}{\frac{2N}{v_2(M-m)}} = \frac{v_2^2(M-m)^2}{M^2} \cdot \frac{v_2(M-m)}{2N} = \frac{v_2^3(M-m)^3}{2NM^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$M-m = 6 \cdot 10^5 - 0.6 \cdot 10^5 = 5.4 \cdot 10^5 \text{ кг}$

$S = \frac{(\frac{100}{9})^3 \cdot (5.4 \cdot 10^5)^3}{2 \cdot 10^6 \cdot (6 \cdot 10^5)^2} = \frac{\frac{1000000}{729} \cdot (5.4)^3 \cdot 10^{15}}{2 \cdot 10^6 \cdot 36 \cdot 10^{10}} = \frac{10^6 \cdot 157.464 \cdot 10^{15}}{729 \cdot 72 \cdot 10^{16}} = \frac{157.464 \cdot 10^{21}}{52488 \cdot 10^{16}} = \frac{157.464}{52488} \cdot 10^5 = 0.003 \cdot 10^5 = 300 \text{ м}$

Ответ: Расстояние, которое пройдёт вагон до остановки, равно 300 м.