Номер 14, страница 363 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 14, страница 363.

Условие.

14. Шар массой $\text{M}$, имеющий скорость $\vec{v}$, налетает на покоящийся шар массой $\text{m}$. Происходит центральный абсолютно упругий удар. В момент наибольшей деформации шары имеют одинаковую скорость. Чему равна потенциальная энергия деформации шаров в этот момент времени?

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $M$

Начальная скорость первого шара: $\vec{v}$ (модуль скорости равен $v$)

Масса второго шара: $m$

Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0$

Найти:

Потенциальная энергия деформации шаров в момент наибольшей деформации: $E_п$

Решение:

Рассматриваемая система двух шаров является замкнутой, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы, а силы, возникающие при ударе, являются внутренними. Поэтому для системы выполняется закон сохранения импульса. Так как удар абсолютно упругий, для системы также выполняется закон сохранения механической энергии.

1. В момент наибольшей деформации оба шара движутся как единое целое с некоторой одинаковой скоростью $u$. Применим закон сохранения импульса для системы шаров. Импульс системы до столкновения равен импульсу системы в момент наибольшей деформации. Запишем закон в проекции на ось, совпадающую с направлением начальной скорости $\vec{v}$:

$Mv + m \cdot 0 = (M+m)u$

Отсюда выразим скорость $u$ шаров в момент их максимального сближения:

$u = \frac{Mv}{M+m}$

2. Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. В начальный момент времени полная механическая энергия системы равна кинетической энергии первого шара, так как второй шар покоится, а потенциальная энергия деформации равна нулю.

$E_1 = \frac{Mv^2}{2}$

В момент наибольшей деформации полная механическая энергия системы состоит из суммарной кинетической энергии двух шаров, движущихся с общей скоростью $u$, и потенциальной энергии их упругой деформации $E_п$.

$E_2 = \frac{(M+m)u^2}{2} + E_п$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{Mv^2}{2} = \frac{(M+m)u^2}{2} + E_п$

Выразим из этого уравнения искомую потенциальную энергию деформации $E_п$:

$E_п = \frac{Mv^2}{2} - \frac{(M+m)u^2}{2}$

3. Подставим в полученное выражение для $E_п$ найденное ранее выражение для скорости $u$:

$E_п = \frac{Mv^2}{2} - \frac{(M+m)}{2} \left(\frac{Mv}{M+m}\right)^2$

Упростим выражение:

$E_п = \frac{Mv^2}{2} - \frac{(M+m)M^2v^2}{2(M+m)^2}$

$E_п = \frac{Mv^2}{2} - \frac{M^2v^2}{2(M+m)}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$E_п = \frac{Mv^2(M+m) - M^2v^2}{2(M+m)}$

Раскроем скобки в числителе:

$E_п = \frac{M^2v^2 + Mmv^2 - M^2v^2}{2(M+m)}$

После сокращения подобных слагаемых получаем окончательный результат:

$E_п = \frac{Mmv^2}{2(M+m)}$

Ответ: Потенциальная энергия деформации шаров в момент наибольшей деформации равна $E_п = \frac{Mmv^2}{2(M+m)}$.