Номер 9, страница 362 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 9, страница 362.

Условие.

9. Санки съезжают с горы высотой $\text{H}$ и углом наклона $\alpha$ и движутся далее по горизонтальному участку (рис. 6.29). Коэффициент трения на всём пути санок одинаков и равен $\mu$. Определите расстояние $\text{s}$, которое пройдут санки, двигаясь по горизонтальному участку до полной остановки.

Рис. 6.29

Решение.

Дано:

Высота горы: $H$
Угол наклона горы: $\alpha$
Коэффициент трения: $\mu$
Масса санок: $m$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:
Расстояние, пройденное по горизонтальному участку: $s$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы сил трения. Полная механическая энергия системы изменяется на величину работы, совершаемой неконсервативными силами (в данном случае силой трения).

$\Delta E = A_{тр}$

где $\Delta E$ — изменение полной механической энергии, а $A_{тр}$ — работа силы трения.

В начальный момент времени (на вершине горы) санки покоятся, их скорость равна нулю. Полная механическая энергия $E_1$ равна потенциальной энергии:

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgH + 0 = mgH$

В конечный момент времени (после остановки на горизонтальном участке) санки также покоятся, и их высота над нулевым уровнем равна нулю. Полная механическая энергия $E_2$ равна нулю:

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = 0 + 0 = 0$

Изменение полной энергии:

$\Delta E = E_2 - E_1 = 0 - mgH = -mgH$

Работа силы трения $A_{тр}$ складывается из работы на наклонном участке $A_{тр1}$ и на горизонтальном участке $A_{тр2}$:

$A_{тр} = A_{тр1} + A_{тр2}$

1. Найдем работу силы трения на наклонном участке.

Длина наклонного участка $L$ связана с высотой $H$ и углом $\alpha$ соотношением: $L = \frac{H}{\sin \alpha}$.
Сила нормальной реакции на наклонной плоскости равна $N_1 = mg \cos \alpha$.
Сила трения на наклонном участке: $F_{тр1} = \mu N_1 = \mu mg \cos \alpha$.
Работа силы трения на этом участке (сила трения направлена против движения):
$A_{тр1} = -F_{тр1} \cdot L = -(\mu mg \cos \alpha) \cdot (\frac{H}{\sin \alpha}) = -\mu mgH \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\mu mgH \cot \alpha$.

2. Найдем работу силы трения на горизонтальном участке.

На горизонтальном участке сила нормальной реакции $N_2 = mg$.
Сила трения на этом участке: $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu mg$.
Работа силы трения на горизонтальном участке длиной $s$:
$A_{тр2} = -F_{тр2} \cdot s = -\mu mgs$.

Теперь подставим все найденные величины в исходное уравнение закона сохранения энергии:

$-mgH = A_{тр1} + A_{тр2}$

$-mgH = -\mu mgH \cot \alpha - \mu mgs$

Разделим обе части уравнения на $-mg$ (так как $m \neq 0$ и $g \neq 0$):

$H = \mu H \cot \alpha + \mu s$

Выразим отсюда искомое расстояние $s$:

$\mu s = H - \mu H \cot \alpha$

$\mu s = H(1 - \mu \cot \alpha)$

$s = \frac{H(1 - \mu \cot \alpha)}{\mu} = H(\frac{1}{\mu} - \cot \alpha)$

Ответ: $s = H(\frac{1}{\mu} - \cot \alpha)$.