Номер 13, страница 362 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 11. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Глава 6. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике - номер 13, страница 362.

Условие.

13. С какой скоростью $\text{u}$ должна двигаться нога футболиста, чтобы после столкновения с ней мяч остановился? Скорость мяча до столкновения равна $\text{v}$. Массу мяча считать много меньшей массы ноги.

Решение.

Дано:

Скорость мяча до столкновения: $v$

Масса мяча: $m$

Масса ноги: $M$

Скорость мяча после столкновения: $v' = 0$

Условие: $m \ll M$

Найти:

Скорость ноги футболиста: $u$

Решение:

Рассмотрим столкновение мяча и ноги футболиста как абсолютно упругий удар, так как в задаче не указаны потери энергии. Для замкнутой системы «мяч–нога» в этом случае будут выполняться законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OX в сторону начального движения мяча. Тогда проекция начальной скорости мяча на эту ось равна $v_1 = v$. Чтобы остановить мяч, нога должна двигаться ему навстречу. Следовательно, проекция ее начальной скорости будет отрицательной: $u_1 = -u$, где $u$ – искомая величина (модуль скорости).

После столкновения, по условию задачи, мяч останавливается, то есть его конечная скорость $v_2 = 0$. Скорость ноги после столкновения обозначим как $u_2$.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось OX:

$m v_1 + M u_1 = m v_2 + M u_2$

$m v + M (-u) = m \cdot 0 + M u_2$

$m v - M u = M u_2$ (1)

Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m v_1^2}{2} + \frac{M u_1^2}{2} = \frac{m v_2^2}{2} + \frac{M u_2^2}{2}$

$m v^2 + M (-u)^2 = m \cdot 0^2 + M u_2^2$

$m v^2 + M u^2 = M u_2^2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $u$ и $u_2$. Нам нужно найти $u$.

Из уравнения (1) выразим $u_2$:

$u_2 = \frac{m v - M u}{M} = \frac{m}{M}v - u$

Теперь подставим это выражение для $u_2$ в уравнение (2):

$m v^2 + M u^2 = M \left( \frac{m}{M}v - u \right)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$m v^2 + M u^2 = M \left( \left(\frac{m}{M}v\right)^2 - 2\frac{m}{M}vu + u^2 \right)$

$m v^2 + M u^2 = M \frac{m^2}{M^2}v^2 - 2M\frac{m}{M}vu + M u^2$

$m v^2 + M u^2 = \frac{m^2}{M}v^2 - 2mvu + M u^2$

Сократим слагаемое $M u^2$, присутствующее в обеих частях уравнения:

$m v^2 = \frac{m^2}{M}v^2 - 2mvu$

Поскольку масса мяча $m$ и его начальная скорость $v$ не равны нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $mv$:

$v = \frac{m}{M}v - 2u$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $u$:

$2u = \frac{m}{M}v - v$

$2u = v\left(\frac{m}{M} - 1\right)$

$u_{проекция} = \frac{v}{2}\left(\frac{m}{M} - 1\right)$

Мы получили проекцию скорости ноги на ось OX. Так как $m \ll M$, то $\frac{m}{M} < 1$, и, следовательно, $\frac{m}{M} - 1 < 0$. Знак "минус" подтверждает, что нога движется в направлении, противоположном начальному движению мяча. Модуль скорости $u$ равен:

$u = \left| \frac{v}{2}\left(\frac{m}{M} - 1\right) \right| = \frac{v}{2}\left(1 - \frac{m}{M}\right)$

Теперь воспользуемся условием, что масса мяча много меньше массы ноги ($m \ll M$). Это означает, что отношение их масс стремится к нулю:

$\frac{m}{M} \approx 0$

Подставим это приближение в полученную формулу:

$u \approx \frac{v}{2}(1 - 0) = \frac{v}{2}$

Таким образом, чтобы остановить мяч, нога футболиста должна двигаться ему навстречу со скоростью, равной половине скорости мяча.

Ответ: $u = \frac{v}{2}$.