Номер 11, страница 362 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 11, страница 362.

Условие.

11. Закрытый пробкой сосуд, вес которого равен выталкивающей силе, покоится на дне стакана с водой. Почти не совершая работы, его можно поднять к поверхности воды. Если теперь вынуть пробку, то сосуд наполнится водой и утонет. При этом он может совершить работу. Если же вынуть пробку, когда сосуд лежит на дне, он также наполнится водой, но работы не совершит. Как согласовать полученный в первом случае выигрыш в работе с законом сохранения энергии?

Решение.

Парадокс, описанный в задаче, является кажущимся и полностью согласуется с законом сохранения энергии. Разберем оба сценария с точки зрения изменения энергии системы "сосуд + вода в стакане".

Введем обозначения:

• $m$ – масса сосуда;
• $P = mg$ – вес сосуда;
• $V$ – внутренний объем сосуда;
• $\rho_w$ – плотность воды;
• $F_A = \rho_w g V$ – выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на полностью погруженный сосуд;
• $h$ – глубина, то есть высота столба воды от дна до поверхности.

По условию задачи, вес сосуда равен выталкивающей силе: $P = F_A$, или $mg = \rho_w g V$. Это означает, что средняя плотность пустого сосуда равна плотности воды, и он находится в состоянии безразличного (нейтрального) равновесия в воде.

Анализ первого случая (подъем, затем открытие пробки)

1. Подъем сосуда со дна на поверхность.

Работа, совершаемая для подъема тела, равна изменению потенциальной энергии системы. Когда мы поднимаем сосуд на высоту $h$, его собственная потенциальная энергия увеличивается на $mgh$. Однако одновременно с этим объем воды $V$, равный объему сосуда, опускается с верхних слоев на дно, чтобы занять освободившееся место. Масса этой воды равна $m_w = \rho_w V$. Ее потенциальная энергия уменьшается на $m_w g h = \rho_w V g h$.

Суммарное изменение потенциальной энергии системы "сосуд + вода" при подъеме сосуда равно:

$\Delta E_{подъем} = \Delta E_{сосуд} + \Delta E_{вода} = mgh - \rho_w V g h$

Поскольку по условию $mg = \rho_w g V$, то:

$\Delta E_{подъем} = mgh - mgh = 0$

Таким образом, полная потенциальная энергия системы не меняется, и для подъема сосуда действительно не нужно совершать работу (пренебрегая силами вязкого трения).

2. Открытие пробки на поверхности и затопление.

Когда сосуд находится на поверхности, мы вынимаем пробку. Он наполняется водой и тонет. В процессе погружения система "сосуд + вода" может совершить работу. Эта работа совершается за счет уменьшения полной потенциальной энергии системы.

Начальное состояние для этого этапа: пустой сосуд на поверхности (высота $h$). Конечное состояние: заполненный водой сосуд на дне (высота 0).

Сравним энергию системы в конечном и начальном состояниях (относительно дна стакана). Система изменилась следующим образом: сосуд массой $m$ переместился с высоты $h$ на 0. Кроме того, объем $V$ на дне, который был "пустым" (занятым воздухом), заполнился водой, которая пришла с поверхности (с высоты $h$).

Уменьшение потенциальной энергии системы складывается из уменьшения энергии сосуда и уменьшения энергии воды, заполнившей сосуд:

$\Delta E_{затопление} = -(E_{сосуда} + E_{воды\_внутри}) = -(mgh + m_w g h) = -(mgh + \rho_w V g h)$

Но пока сосуд тонул, он вытеснял воду, что эквивалентно подъему объема воды $V$ со дна на поверхность. Это увеличило энергию системы на $\rho_w V g h$. Суммарное изменение:

$\Delta E_{система} = - mgh - \rho_w V g h + \rho_w V g h = -mgh$

Потенциальная энергия системы уменьшилась на величину $mgh$. Эта энергия и может быть преобразована в полезную работу $A_1 = mgh$. Учитывая условие, $A_1 = F_A h$.

Анализ второго случая (открытие пробки на дне)

Сосуд находится на дне, мы вынимаем пробку. Вода устремляется внутрь, и сосуд заполняется. При этом сам сосуд не перемещается, поэтому механическая работа не совершается ($A_2 = 0$).

Однако, как и в первом случае, система переходит из состояния "пустой сосуд на дне" в состояние "заполненный сосуд на дне". Это означает, что объем воды $V$ переместился с поверхности на дно. Потенциальная энергия системы уменьшилась на ту же самую величину:

$\Delta E_{система} = -\rho_w V g h = -mgh$

В данном случае эта высвободившаяся энергия не преобразуется в полезную работу, а полностью рассеивается (диссипирует) в виде тепла из-за турбулентных потоков и вязкого трения воды при заполнении сосуда.

Согласование с законом сохранения энергии

Закон сохранения энергии не нарушается. В обоих сценариях при переходе системы из начального состояния (пустой сосуд на дне) в конечное (заполненный сосуд на дне) выделяется одно и то же количество энергии, равное $mgh = F_A h$.

Разница заключается в том, как эта энергия используется:

• В первом случае мы создаем условия для организованного, направленного движения (погружения тяжелого объекта), что позволяет преобразовать высвобождаемую потенциальную энергию в полезную механическую работу.
• Во втором случае энергия высвобождается хаотично, в ходе необратимого процесса, и полностью переходит во внутреннюю энергию (тепло).

Таким образом, "выигрыш в работе" в первом случае — это не получение энергии из ничего, а эффективное использование того запаса потенциальной энергии, который был у системы "сосуд + вода" изначально. Подъем сосуда на поверхность (не требующий затрат энергии) является подготовительным шагом, который позволяет "включить" механизм для преобразования этой энергии в работу.

Ответ: "Выигрыш в работе" в первом случае согласуется с законом сохранения энергии. В обоих сценариях происходит уменьшение потенциальной энергии системы "сосуд+вода" на одну и ту же величину. В первом случае это уменьшение преобразуется в полезную механическую работу. Во втором случае та же самая энергия полностью рассеивается в виде тепла из-за необратимых процессов (вязкое трение, турбулентность).