Номер 17, страница 363 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 11. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Глава 6. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике - номер 17, страница 363.

Условие.

17. Однородная цепочка длиной $\text{l}$ лежит на абсолютно гладкой доске. Небольшая часть цепочки пропущена в отверстие, сделанное в доске (рис. 6.30). В начальный момент времени лежащий на доске конец цепочки придерживают, а затем отпускают, и цепочка начинает соскальзывать с доски под действием силы тяжести свешивающегося конца. Определите скорость движения цепочки в момент, когда длина свешивающейся части равна $\text{l}$.

Рис. 6.30

Решение.

Дано:

Длина цепочки: $l$
Масса цепочки: $m$
Ускорение свободного падения: $g$
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Конечная длина свешивающейся части: $l$

Найти:

Скорость движения цепочки $v$.

Решение:

Для решения этой задачи применим закон сохранения механической энергии. Так как доска абсолютно гладкая, сила трения отсутствует. Сила нормальной реакции опоры, действующая на часть цепочки на доске, перпендикулярна направлению движения, поэтому ее работа равна нулю. Единственной силой, совершающей работу, является сила тяжести, которая является консервативной. Следовательно, полная механическая энергия системы «цепочка — Земля» сохраняется.

Полная механическая энергия системы $E$ в любой момент времени равна сумме её кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$: $E = E_k + E_p$.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную плоскость доски.

Начальное состояние системы (момент отпускания).
В начальный момент времени цепочка находится в покое, поэтому её начальная скорость $v_0 = 0$, и, следовательно, начальная кинетическая энергия системы равна нулю: $E_{k1} = 0$. В условии сказано, что в отверстие пропущена «небольшая часть цепочки». Для простоты расчетов будем считать начальную длину свешивающейся части пренебрежимо малой ($x_0 \to 0$). В этом случае можно считать, что в начальный момент практически вся цепочка лежит на доске, то есть на нулевом уровне потенциальной энергии. Таким образом, начальная потенциальная энергия системы также равна нулю: $E_{p1} = 0$. Полная механическая энергия системы в начальном состоянии: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0$.

Конечное состояние системы (момент, когда вся цепочка соскользнула).
В конечный момент, который нас интересует, длина свешивающейся части равна $l$, то есть вся цепочка соскользнула с доски. Пусть в этот момент её скорость равна $v$. Кинетическая энергия всей цепочки массой $m$ равна: $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$. Поскольку цепочка однородна, её центр масс находится на середине длины. В конечном состоянии вся цепочка свешивается вертикально, и её центр масс находится на расстоянии $l/2$ ниже нулевого уровня. Потенциальная энергия системы в конечном состоянии: $E_{p2} = -mg\frac{l}{2}$. Полная механическая энергия системы в конечном состоянии: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv^2}{2} - mg\frac{l}{2}$.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы в начальном состоянии равна полной энергии в конечном состоянии: $E_1 = E_2$. $0 = \frac{mv^2}{2} - mg\frac{l}{2}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$. Перенесем член с потенциальной энергией в левую часть уравнения: $\frac{mv^2}{2} = mg\frac{l}{2}$

Сократим массу $m$ и множитель $1/2$ с обеих сторон уравнения: $v^2 = gl$

Извлекая квадратный корень, получаем итоговую формулу для скорости цепочки: $v = \sqrt{gl}$

Ответ: Скорость движения цепочки в момент, когда длина свешивающейся части равна $l$, составляет $v = \sqrt{gl}$.