Номер 24, страница 364 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 24, страница 364.

Условие.

24. Кубик соскальзывает без трения с наклонной плоскости высотой $\text{h}$. Согласно закону сохранения энергии, его кинетическая энергия у основания плоскости равна $\frac{mv^2}{2} = mgh.$ Рассмотрим теперь движение кубика с точки зрения инерциальной системы отсчёта, движущейся вдоль горизонтальной плоскости со скоростью $v = \sqrt{2gh}$. В этой системе отсчёта начальная скорость кубика равна $v = \sqrt{2gh}$, а конечная скорость равна нулю. Следовательно, начальная энергия $E_1 = \frac{mv^2}{2} + mgh = 2mgh$, а конечная $E_2 = 0$. Куда же исчезла энергия?

Решение.

Парадокс, описанный в задаче, возникает из-за некорректного применения закона сохранения механической энергии. Закон сохранения полной механической энергии выполняется только для замкнутых систем, в которых действуют исключительно консервативные силы, или в случаях, когда работа неконсервативных и внешних сил равна нулю.

Рассмотрим движение кубика в двух системах отсчета (СО).

1. Инерциальная СО, связанная с Землей (лабораторная СО).

В этой системе отсчета наклонная плоскость неподвижна. На кубик действуют две силы: сила тяжести $mg$ (консервативная) и сила нормальной реакции опоры $N$. Сила $N$ всегда перпендикулярна вектору скорости (и перемещения) кубика, поэтому ее работа равна нулю ($W_N = 0$). Следовательно, полная механическая энергия кубика сохраняется.

Начальная энергия (на высоте $h$): $E_{1,лаб} = mgh$ (кинетическая энергия равна нулю).

Конечная энергия (у основания плоскости): $E_{2,лаб} = \frac{mv^2}{2}$ (потенциальная энергия равна нулю).

По закону сохранения энергии: $mgh = \frac{mv^2}{2}$, откуда следует, что $v = \sqrt{2gh}$. Это утверждение верно.

2. Инерциальная СО, движущаяся горизонтально со скоростью $v = \sqrt{2gh}$.

В этой системе отсчета наклонная плоскость движется навстречу кубику (горизонтально) со скоростью $v$. Сила нормальной реакции опоры $N$, действующая на кубик со стороны плоскости, теперь совершает работу, так как точка ее приложения (которая принадлежит движущейся плоскости) перемещается. Именно работа этой внешней силы приводит к изменению полной механической энергии кубика.

В общем виде закон изменения энергии гласит: изменение полной механической энергии системы равно работе внешних непотенциальных сил.

$ \Delta E = E_2 - E_1 = W_{внеш} $

В нашем случае внешней непотенциальной силой является сила нормальной реакции $N$, поэтому $ \Delta E = W_N $.

Как указано в условии, в этой СО:

Начальная энергия: $ E_1 = E_{к1} + E_{п1} = \frac{mv^2}{2} + mgh $. Поскольку $v^2 = 2gh$, то $E_1 = \frac{m(2gh)}{2} + mgh = mgh + mgh = 2mgh $.

Конечная энергия: $ E_2 = E_{к2} + E_{п2} = 0 + 0 = 0 $.

Следовательно, изменение энергии: $ \Delta E = 0 - 2mgh = -2mgh $.

Теперь найдем работу $W_N$, совершаемую силой нормальной реакции. Для этого воспользуемся связью между работой и изменением импульса. Горизонтальная проекция силы $N$ — это $N_x$. Работа этой силы в движущейся СО равна $ W_N = -v \int N_x dt $. Это следует из преобразований Галилея для работы.

Интеграл $\int N_x dt$ по определению равен изменению горизонтальной составляющей импульса кубика в лабораторной СО, так как $N_x$ — это единственная внешняя сила, действующая на кубик в горизонтальном направлении (сила тяжести вертикальна).

$ \int N_x dt = \Delta p_x = p_{x,конеч} - p_{x,начал} $

В лабораторной СО начальный импульс равен нулю, а конечный равен $mv$.

$ \int N_x dt = mv - 0 = mv $

Подставляем это в выражение для работы:

$ W_N = -v \cdot (mv) = -mv^2 $

Так как из анализа в лабораторной СО мы знаем, что $v^2=2gh$, то работа силы нормальной реакции в движущейся СО равна:

$ W_N = -m(2gh) = -2mgh $

Таким образом, закон изменения энергии полностью выполняется:

$ \Delta E = W_N $

$ -2mgh = -2mgh $

Энергия не исчезла, а была преобразована в работу. Сила реакции движущейся наклонной плоскости совершила над кубиком отрицательную работу, равную $-2mgh$, что и привело к уменьшению его полной механической энергии от $2mgh$ до нуля.

Ответ: Энергия не исчезла. В рассматриваемой движущейся системе отсчета наклонная плоскость сама движется, и поэтому сила нормальной реакции, действующая со стороны плоскости на кубик, совершает работу. Эта работа является работой внешней силы для системы "кубик", поэтому закон сохранения механической энергии для кубика в этой системе отсчета не выполняется. Изменение полной механической энергии кубика ($E_2 - E_1 = -2mgh$) в точности равно работе, совершенной силой нормальной реакции опоры ($W_N = -2mgh$). Таким образом, "исчезнувшая" энергия была затрачена на совершение работы против силы реакции опоры (или, что эквивалентно, кубик совершил положительную работу над движущейся плоскостью).