Номер 23, страница 364 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 23, страница 364.

Условие.

23. Рассматривая падение камня на Землю, мы утверждаем, что изменение импульса Земли равно изменению импульса камня, а изменение кинетической энергии Земли при этом не нужно учитывать. Как это объяснить?

Решение.

Для объяснения рассмотрим систему тел, состоящую из камня и Земли. Силы гравитационного притяжения между ними являются внутренними для этой системы. Если пренебречь внешними силами (например, притяжением Солнца и других планет), то систему "камень-Земля" можно считать замкнутой.

Изменение импульса Земли равно изменению импульса камня

Для замкнутой системы тел выполняется закон сохранения импульса, согласно которому суммарный импульс системы остается постоянным. Запишем это для нашей системы: $ \vec{p}_{З} + \vec{p}_{к} = \text{const} $ где $ \vec{p}_{З} $ – импульс Земли, а $ \vec{p}_{к} $ – импульс камня.

Постоянство суммарного импульса означает, что его изменение равно нулю: $ \Delta(\vec{p}_{З} + \vec{p}_{к}) = 0 $

Раскрывая изменение суммы, получаем: $ \Delta\vec{p}_{З} + \Delta\vec{p}_{к} = 0 $

Отсюда следует, что: $ \Delta\vec{p}_{З} = - \Delta\vec{p}_{к} $

Данное векторное равенство показывает, что изменение импульса Земли в точности равно по модулю и противоположно по направлению изменению импульса камня. Таким образом, утверждение о равенстве (по модулю) изменений их импульсов является прямым следствием закона сохранения импульса.

Изменение кинетической энергии Земли не нужно учитывать

Кинетическая энергия тела связана с его импульсом $ p $ и массой $ m $ формулой: $ E_k = \frac{p^2}{2m} $

Из закона сохранения импульса мы знаем, что модули изменений импульсов Земли и камня равны. Обозначим эту величину как $ \Delta p $: $ |\Delta\vec{p}_{З}| = |\Delta\vec{p}_{к}| = \Delta p $

Теперь выразим изменение кинетической энергии для Земли (массой $ m_З $) и камня (массой $ m_к $). Если предположить, что оба тела изначально покоились (в выбранной системе отсчета), то изменение их кинетической энергии будет равно их конечной кинетической энергии: $ \Delta E_{k,З} = \frac{(\Delta p)^2}{2m_З} $ $ \Delta E_{k,к} = \frac{(\Delta p)^2}{2m_к} $

Найдем отношение этих изменений: $ \frac{\Delta E_{k,З}}{\Delta E_{k,к}} = \frac{(\Delta p)^2 / (2m_З)}{(\Delta p)^2 / (2m_к)} = \frac{m_к}{m_З} $

Поскольку масса Земли $ m_З $ неизмеримо больше массы камня $ m_к $ ($ m_З \gg m_к $), их отношение $ \frac{m_к}{m_З} $ является величиной, очень близкой к нулю. Это означает, что изменение кинетической энергии Земли $ \Delta E_{k,З} $ ничтожно мало по сравнению с изменением кинетической энергии камня $ \Delta E_{k,к} $. Именно поэтому в расчетах изменением кинетической энергии Земли можно и нужно пренебрегать.

Ответ: Равенство (по модулю) изменений импульсов Земли и камня является следствием закона сохранения импульса для замкнутой системы "камень-Земля". Изменение же кинетической энергии ($ \Delta E_k = \frac{(\Delta p)^2}{2m} $) обратно пропорционально массе тела. Так как масса Земли многократно превышает массу камня, то при одинаковых по модулю изменениях импульса изменение кинетической энергии Земли будет во столько же раз меньше изменения кинетической энергии камня, то есть пренебрежимо малым.