Номер 22, страница 364 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 11. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Глава 6. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике - номер 22, страница 364.

Условие.

22. Колодец, площадь дна которого $\text{S}$ и глубина $\text{H}$, наполовину заполнен водой. Насос выкачивает воду и подаёт её на поверхность Земли через цилиндрическую трубу радиусом $\text{R}$. Какую работу $\text{A}$ совершит насос, если выкачает всю воду из колодца за время $\text{t}$?

Решение.

Дано:

Площадь дна колодца: $S$

Глубина колодца: $H$

Начальный уровень воды: колодец заполнен наполовину, т.е. высота столба воды равна $H/2$

Радиус трубы: $R$

Время выкачивания воды: $\tau$

Плотность воды: $\rho$ (подразумевается как известная величина)

Ускорение свободного падения: $g$ (подразумевается как известная величина)

Все величины представлены в общем виде, будем считать, что они даны в системе СИ:

$S$ - $м^2$ (метры квадратные)

$H$ - $м$ (метры)

$R$ - $м$ (метры)

$\tau$ - $с$ (секунды)

$\rho$ - $кг/м^3$ (килограмм на метр кубический)

$g$ - $м/с^2$ (метр на секунду в квадрате)

Найти:

Работу насоса: $A$

Решение:

Работа, совершаемая насосом, складывается из двух частей: работы по подъему воды (увеличение ее потенциальной энергии) и работы по сообщению воде кинетической энергии (при выходе из трубы).

$A = A_п + A_к$

1. Найдем работу по увеличению потенциальной энергии $A_п$.

Сначала определим массу воды в колодце. Объем воды $V$ равен произведению площади дна $S$ на высоту столба воды $H/2$.

$V = S \cdot \frac{H}{2}$

Масса воды $m$ равна произведению ее объема на плотность:

$m = \rho V = \frac{\rho S H}{2}$

Работа по подъему тела равна произведению его веса на высоту подъема его центра масс. Изначально вода заполняет нижнюю половину колодца (от глубины $H/2$ до $H$). Центр масс этого столба воды находится на половине его высоты, то есть на глубине:

$h_{цм} = \frac{H}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{H}{2} = \frac{H}{2} + \frac{H}{4} = \frac{3H}{4}$

Воду нужно поднять на поверхность (нулевая высота). Таким образом, высота подъема центра масс равна $h_{цм}$.

Работа по увеличению потенциальной энергии равна:

$A_п = m g h_{цм} = \left(\frac{\rho S H}{2}\right) g \left(\frac{3H}{4}\right) = \frac{3}{8} \rho g S H^2$

2. Найдем работу по сообщению кинетической энергии $A_к$.

Эта работа равна кинетической энергии, которую будет иметь вся масса воды при выходе из трубы со скоростью $v$.

$A_к = \frac{1}{2} m v^2$

Чтобы найти скорость $v$, воспользуемся тем, что весь объем воды $V$ выкачивается за время $\tau$. Объемный расход воды $Q$ составляет:

$Q = \frac{V}{\tau} = \frac{S H}{2 \tau}$

С другой стороны, объемный расход связан со скоростью потока $v$ и площадью поперечного сечения трубы $S_{трубы}$:

$Q = v \cdot S_{трубы}$

Площадь сечения трубы: $S_{трубы} = \pi R^2$.

Отсюда выразим скорость:

$v = \frac{Q}{S_{трубы}} = \frac{S H}{2 \tau \pi R^2}$

Теперь можем рассчитать кинетическую энергию:

$A_к = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{\rho S H}{2}\right) \left(\frac{S H}{2 \pi R^2 \tau}\right)^2 = \frac{\rho S H}{4} \cdot \frac{S^2 H^2}{4 \pi^2 R^4 \tau^2} = \frac{\rho S^3 H^3}{16 \pi^2 R^4 \tau^2}$

3. Найдем полную работу насоса.

Сложим работу по подъему воды и работу по сообщению ей кинетической энергии:

$A = A_п + A_к = \frac{3}{8} \rho g S H^2 + \frac{\rho S^3 H^3}{16 \pi^2 R^4 \tau^2}$

Можно вынести за скобки общий множитель для более компактной записи:

$A = \rho S H^2 \left(\frac{3}{8}g + \frac{S^2 H}{16 \pi^2 R^4 \tau^2}\right)$

Ответ: $A = \frac{3}{8} \rho g S H^2 + \frac{\rho S^3 H^3}{16 \pi^2 R^4 \tau^2}$