Номер 19, страница 363 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 19, страница 363.

Условие.

19. Между двумя шариками массами $\text{m}$ и $\text{M}$ находится сжатая пружина. Если один шарик (массой $\text{M}$) удерживать на месте, а другой освободить, то он отлетает со скоростью $\vec{v}$. С какой скоростью будет двигаться шарик массой $\text{m}$, если оба шарика освободить одновременно? Деформация пружины одинакова в обоих случаях.

Решение.

Дано:

$m$ – масса первого шарика

$M$ – масса второго шарика

$v$ – скорость шарика массы $m$ в первом случае

Найти:

$u_m$ – скорость шарика массы $m$ во втором случае

Решение:

Рассмотрим два случая, описанные в задаче.

1. Первый случай: шарик массой $M$ удерживается на месте.

В этом случае система не является замкнутой, так как на шарик $M$ действует внешняя сила, удерживающая его. Однако для шарика $m$ и пружины можно применить закон сохранения энергии. Вся потенциальная энергия сжатой пружины $E_п$ переходит в кинетическую энергию шарика массой $m$.

Начальная энергия системы (шарик $m$ + пружина): $E_{нач} = E_п$.

Конечная энергия системы, когда пружина полностью распрямилась: $E_{кон} = \frac{mv^2}{2}$.

По закону сохранения энергии:

$E_п = \frac{mv^2}{2}$ (1)

2. Второй случай: оба шарика освобождают одновременно.

В этом случае система, состоящая из двух шариков и пружины, является замкнутой, так как внешние силы на нее не действуют (или их действие скомпенсировано). Для такой системы выполняются законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса:

Поскольку в начальный момент оба шарика покоились, начальный импульс системы равен нулю. Пусть $u_m$ и $u_M$ – скорости шариков после распрямления пружины. Шарики будут двигаться в противоположные стороны. В проекции на ось, направленную вдоль скорости шарика $m$, закон сохранения импульса запишется так:

$0 = mu_m - Mu_M$

Отсюда находим связь между скоростями шариков:

$mu_m = Mu_M \Rightarrow u_M = \frac{m}{M}u_m$ (2)

Закон сохранения энергии:

Потенциальная энергия сжатой пружины $E_п$ переходит в суммарную кинетическую энергию двух шариков. Деформация пружины по условию такая же, как и в первом случае, значит, и ее потенциальная энергия та же.

$E_п = \frac{mu_m^2}{2} + \frac{Mu_M^2}{2}$ (3)

3. Решение системы уравнений.

Приравняем правые части уравнений (1) и (3), так как левые части ($E_п$) равны:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{mu_m^2}{2} + \frac{Mu_M^2}{2}$

Умножим обе части на 2:

$mv^2 = mu_m^2 + Mu_M^2$

Подставим в это уравнение выражение для $u_M$ из уравнения (2):

$mv^2 = mu_m^2 + M\left(\frac{m}{M}u_m\right)^2$

$mv^2 = mu_m^2 + M\frac{m^2u_m^2}{M^2}$

$mv^2 = mu_m^2 + \frac{m^2}{M}u_m^2$

Вынесем $u_m^2$ за скобки:

$mv^2 = u_m^2\left(m + \frac{m^2}{M}\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$m + \frac{m^2}{M} = \frac{mM + m^2}{M} = \frac{m(M+m)}{M}$

Подставим обратно в уравнение:

$mv^2 = u_m^2 \frac{m(M+m)}{M}$

Сократим на $m$ и выразим $u_m^2$:

$v^2 = u_m^2 \frac{M+m}{M}$

$u_m^2 = v^2 \frac{M}{M+m}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти искомую скорость $u_m$:

$u_m = v\sqrt{\frac{M}{M+m}}$

Ответ: Скорость шарика массой $m$ будет равна $v\sqrt{\frac{M}{M+m}}$.