Номер 21, страница 364 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 21, страница 364.

Условие.

21. Сваю массой 1000 кг забивают в грунт копром, масса которого 4000 кг. Копёр свободно падает с высоты 5 м, и при каждом ударе свая опускается на глубину 5 см. Определите силу сопротивления грунта, считая её постоянной.

Решение.

Дано:

Масса сваи, $m_1 = 1000$ кг

Масса копра, $m_2 = 4000$ кг

Высота падения копра, $H = 5$ м

Глубина погружения сваи, $h = 5$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$h = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Силу сопротивления грунта, $F_{сопр}$ - ?

Решение:

Решение задачи можно разбить на три этапа: падение копра, его абсолютно неупругий удар о сваю и совместное движение копра и сваи в грунте до полной остановки.

1. Найдем скорость копра $v_2$ непосредственно перед ударом о сваю. Используем закон сохранения механической энергии для свободно падающего копра. Его потенциальная энергия переходит в кинетическую:

$m_2 g H = \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Отсюда скорость $v_2$ равна:

$v_2 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 10$ м/с.

2. Удар копра о сваю является абсолютно неупругим, так как после удара они движутся вместе. Для такого удара выполняется закон сохранения импульса. Импульс системы до удара равен импульсу копра (свая покоится), а после удара - импульсу системы "копр + свая", движущейся с общей скоростью $u$.

$m_2 v_2 = (m_1 + m_2)u$

Выразим начальную скорость совместного движения $u$:

$u = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{4000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{1000 \text{ кг} + 4000 \text{ кг}} = \frac{40000}{5000}$ м/с = $8$ м/с.

3. Рассмотрим совместное движение сваи и копра в грунте. На систему действуют сила тяжести $(m_1 + m_2)g$ и сила сопротивления грунта $F_{сопр}$, направленная против движения. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии системы равно суммарной работе всех действующих на нее сил.

$\Delta E_k = A_{общ}$

Начальная кинетическая энергия системы $E_{k1} = \frac{(m_1+m_2)u^2}{2}$. Конечная кинетическая энергия $E_{k2} = 0$, так как система останавливается. Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = 0 - \frac{(m_1+m_2)u^2}{2} = -\frac{(m_1+m_2)u^2}{2}$

Суммарная работа $A_{общ}$ складывается из работы силы тяжести $A_g$ и работы силы сопротивления $A_{сопр}$ на пути $h$.

Работа силы тяжести положительна, так как сила направлена в сторону движения: $A_g = (m_1+m_2)gh$.

Работа силы сопротивления отрицательна, так как она направлена против движения: $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot h$.

Тогда $A_{общ} = A_g + A_{сопр} = (m_1+m_2)gh - F_{сопр} \cdot h$.

Приравниваем изменение энергии и работу:

$-\frac{(m_1+m_2)u^2}{2} = (m_1+m_2)gh - F_{сопр} \cdot h$

Выразим силу сопротивления $F_{сопр}$:

$F_{сопр} \cdot h = (m_1+m_2)gh + \frac{(m_1+m_2)u^2}{2}$

$F_{сопр} = \frac{(m_1+m_2)gh}{h} + \frac{(m_1+m_2)u^2}{2h} = (m_1+m_2)g + \frac{(m_1+m_2)u^2}{2h}$

Подставим числовые значения:

$F_{сопр} = (1000 \text{ кг} + 4000 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с}^2 + \frac{(1000 \text{ кг} + 4000 \text{ кг}) \cdot (8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0.05 \text{ м}}$

$F_{сопр} = 5000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 + \frac{5000 \text{ кг} \cdot 64 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.1 \text{ м}}$

$F_{сопр} = 50000 \text{ Н} + \frac{320000 \text{ Н} \cdot \text{м}}{0.1 \text{ м}}$

$F_{сопр} = 50000 \text{ Н} + 3200000 \text{ Н} = 3250000$ Н.

Силу можно выразить в килоньютонах (кН) или меганьютонах (МН):

$3250000 \text{ Н} = 3250 \text{ кН} = 3.25$ МН.

Ответ: $F_{сопр} = 3250000$ Н или $3.25$ МН.