Номер 15, страница 363 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 15, страница 363.

Условие.

15. На покоящийся шар налетает второй шар, имеющий перед ударом скорость $ \vec{v} $. Происходит упругий нецентральный удар. Докажите, что угол между скоростями шаров после удара равен $90^\circ$, если шары имеют одинаковые массы.

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $m_1$
Начальная скорость первого шара: $\vec{v}_1 = \vec{0}$
Масса второго шара: $m_2$
Начальная скорость второго шара: $\vec{v}_2 = \vec{v}$
Условие равенства масс: $m_1 = m_2 = m$
Скорость первого шара после удара: $\vec{v}_1'$
Скорость второго шара после удара: $\vec{v}_2'$
Удар упругий.

Найти:

Доказать, что угол $\theta$ между векторами $\vec{v}_1'$ и $\vec{v}_2'$ равен 90°.

Решение:

Для системы из двух шаров при упругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:
$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{v}_1' + m_2 \vec{v}_2'$
Подставив известные значения ($m_1 = m_2 = m$, $\vec{v}_1 = \vec{0}$, $\vec{v}_2 = \vec{v}$), получим:
$m \cdot \vec{0} + m \vec{v} = m \vec{v}_1' + m \vec{v}_2'$
Сократив на массу $m$, получим векторное равенство, связывающее скорости:
$\vec{v} = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$

Запишем закон сохранения кинетической энергии:
$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 (v_1')^2}{2} + \frac{m_2 (v_2')^2}{2}$
Подставив известные значения, получим:
$\frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = \frac{m (v_1')^2}{2} + \frac{m (v_2')^2}{2}$
Умножив обе части уравнения на $\frac{2}{m}$, получим скалярное равенство для квадратов модулей скоростей:
$v^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2$

Теперь возведем полученное из закона сохранения импульса векторное равенство $\vec{v} = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$ скалярно в квадрат:
$\vec{v} \cdot \vec{v} = (\vec{v}_1' + \vec{v}_2') \cdot (\vec{v}_1' + \vec{v}_2')$
Раскрыв скобки, получим:
$v^2 = \vec{v}_1' \cdot \vec{v}_1' + 2(\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2') + \vec{v}_2' \cdot \vec{v}_2'$
Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = a^2$), то:
$v^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2 + 2(\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2')$

Сравним это выражение для $v^2$ с выражением, полученным из закона сохранения энергии:
$(v_1')^2 + (v_2')^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2 + 2(\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2')$
Вычитая $(v_1')^2 + (v_2')^2$ из обеих частей, приходим к выводу:
$0 = 2(\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2')$
Следовательно, скалярное произведение векторов скоростей после удара равно нулю:
$\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2' = 0$

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Поскольку удар нецентральный, оба шара после столкновения движутся, то есть $v_1' \neq 0$ и $v_2' \neq 0$. Из определения скалярного произведения $\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2' = v_1' v_2' \cos\theta = 0$ следует, что $\cos\theta = 0$, а значит угол между скоростями $\theta = 90°$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол между скоростями шаров после упругого нецентрального удара равен 90°, если шары имеют одинаковые массы и один из них до удара покоился.