Номер 18, страница 363 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 18, страница 363.

Условие.

18. С горки высотой $\text{h}$ соскальзывает брусок массой $\text{m}$ и останавливается на горизонтальной поверхности из-за действия силы трения. Какую работу надо совершить, чтобы поднять брусок на вершину этой горки, не увеличивая его кинетическую энергию? Брусок перемещают так, что он не отрывается от поверхности, и сила, под действием которой поднимается груз, направлена по касательной к поверхности во всех точках.

Решение.

Дано:

$m$ – масса бруска

$h$ – высота горки

Найти:

$A$ – работу, которую надо совершить, чтобы поднять брусок.

Решение:

Разобьем решение на два этапа: соскальзывание бруска вниз и подъем бруска вверх.

1. Соскальзывание бруска.

Брусок начинает движение с вершины горки высотой $h$ из состояния покоя и останавливается на горизонтальной поверхности. Применим закон сохранения энергии с учетом работы силы трения. Начальная полная механическая энергия бруска (на вершине горки):

$E_{1} = E_{п1} + E_{к1} = mgh + 0 = mgh$

Конечная полная механическая энергия бруска (после остановки на горизонтальной поверхности):

$E_{2} = E_{п2} + E_{к2} = 0 + 0 = 0$

Изменение полной механической энергии равно работе неконсервативных сил, в данном случае – работе силы трения $A_{тр, вниз}$:

$\Delta E = E_{2} - E_{1} = A_{тр, вниз}$

$0 - mgh = A_{тр, вниз}$

Таким образом, работа силы трения при соскальзывании бруска равна $A_{тр, вниз} = -mgh$. Энергия, рассеявшаяся в виде тепла из-за трения, равна модулю этой работы: $|A_{тр, вниз}| = mgh$.

2. Подъем бруска.

Теперь нужно совершить работу $A$, чтобы поднять брусок с места его остановки обратно на вершину горки. По условию, кинетическая энергия бруска не увеличивается, это значит, что начальная и конечная скорости равны нулю. Применим теорему об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на него.

$\Delta E_k = A_{полн} = 0$

Полная работа $A_{полн}$ складывается из работы искомой внешней силы $A$, работы силы тяжести $A_g$ и работы силы трения $A_{тр, вверх}$:

$A_{полн} = A + A_g + A_{тр, вверх} = 0$

Работа силы тяжести при подъеме тела на высоту $h$ равна:

$A_g = -mgh$

Подставим это в уравнение:

$A - mgh + A_{тр, вверх} = 0$

$A = mgh - A_{тр, вверх}$

Работа силы трения всегда отрицательна, так как сила трения направлена против движения: $A_{тр, вверх} = -|A_{тр, вверх}|$. Тогда:

$A = mgh + |A_{тр, вверх}|$

Теперь найдем модуль работы силы трения при подъеме $|A_{тр, вверх}|$. Работа силы трения на малом участке пути $dl$ равна $dA_{тр} = F_{тр} dl = \mu N dl$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры. Сила $N$ зависит от угла наклона поверхности $\alpha$: $N = mg \cos\alpha$. Это справедливо и при спуске, и при подъеме, так как по условию внешняя сила при подъеме направлена по касательной к поверхности и не имеет составляющей, перпендикулярной поверхности.

Поскольку брусок перемещается вверх по тому же пути, по которому он спускался, и сила нормальной реакции в каждой точке траектории та же самая, то модуль работы силы трения при подъеме будет равен модулю работы силы трения при спуске:

$|A_{тр, вверх}| = |A_{тр, вниз}|$

Из первого пункта мы знаем, что $|A_{тр, вниз}| = mgh$. Следовательно:

$|A_{тр, вверх}| = mgh$

Подставим это значение в формулу для работы $A$:

$A = mgh + mgh = 2mgh$

Ответ: $A = 2mgh$.