Номер 25, страница 364 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 25, страница 364.

Условие.

25. С высоты $2R$ соскальзывает небольшое тело по жёлобу, который образует «мёртвую петлю» радиусом $\text{R}$ (рис. 6.31). На какой высоте $\text{h}$ относительно уровня $AB$ тело оторвётся от жёлоба? На какой высоте $\text{H}$ оно пройдёт над точкой $\text{A}$?

Рис. 6.31

Решение.

Дано:

Начальная высота тела: $H_{нач} = 2R$

Радиус петли: $R$

Начальная скорость тела: $v_0 = 0$

Найти:

$h$ - высота отрыва тела от жёлоба

$H$ - высота, на которой тело пройдет над точкой A

Решение:

На какой высоте h относительно уровня AB тело оторвётся от жёлоба?

Запишем закон сохранения энергии для тела. Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на уровне AB. Начальная энергия тела (в точке B): $E_{нач} = mgH_{нач} = mg(2R)$.

Пусть тело отрывается от жёлоба в точке, находящейся на высоте $h$ и имеющей скорость $v$. Энергия в этой точке: $E = mgh + \frac{1}{2}mv^2$. По закону сохранения энергии $E_{нач} = E$: $mg(2R) = mgh + \frac{1}{2}mv^2$ $2gR = gh + \frac{1}{2}v^2 \quad (1)$

Рассмотрим силы, действующие на тело в момент отрыва. На тело действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $N$. В момент отрыва $N=0$. Пусть $\alpha$ — угол между вертикалью, проходящей через центр петли O, и радиусом, проведённым в точку отрыва. Тогда высота $h$ связана с углом $\alpha$ соотношением $h = R(1+\cos\alpha)$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление: $mg \cos\alpha + N = m \frac{v^2}{R}$ В момент отрыва $N=0$, следовательно: $mg \cos\alpha = m \frac{v^2}{R}$ $v^2 = gR \cos\alpha \quad (2)$

Выразим $\cos\alpha$ через $h$: $\cos\alpha = \frac{h}{R} - 1$. Подставим это в уравнение (2): $v^2 = gR (\frac{h}{R} - 1) = g(h-R) \quad (3)$

Теперь подставим выражение для $v^2$ из (3) в уравнение закона сохранения энергии (1): $2gR = gh + \frac{1}{2}g(h-R)$ Разделим обе части на $g$: $2R = h + \frac{1}{2}(h-R)$ $2R = h + \frac{h}{2} - \frac{R}{2}$ $2R + \frac{R}{2} = \frac{3h}{2}$ $\frac{5R}{2} = \frac{3h}{2}$ $h = \frac{5}{3}R$

Ответ: $h = \frac{5}{3}R$.

На какой высоте H оно пройдёт над точкой A?

После отрыва от жёлоба тело движется по параболической траектории. Найдём параметры движения в момент отрыва. Высота отрыва: $y_0 = h = \frac{5}{3}R$. Скорость в момент отрыва найдём из уравнения (3): $v^2 = g(\frac{5}{3}R - R) = \frac{2}{3}gR$.

Введём систему координат с началом в точке А, ось Ox направлена горизонтально вправо, ось Oy — вертикально вверх. Центр петли О будет иметь координаты $(R, R)$. Найдём координаты точки отрыва $(x_0, y_0)$. Мы уже знаем $y_0=h$. $\cos\alpha = \frac{h}{R} - 1 = \frac{5/3 R}{R} - 1 = \frac{2}{3}$. $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Координата $x_0$ точки отрыва: $x_0 = R - R\sin\alpha = R(1 - \frac{\sqrt{5}}{3})$.

Найдём проекции скорости на оси координат в момент отрыва. Скорость $v$ направлена по касательной к окружности, то есть под углом $\alpha$ к горизонтали (вверх и влево). $v_x = -v \sin\alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}gR} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{\sqrt{10gR}}{3}$. $v_y = v \cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}gR} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{6gR}}{9}$.

Запишем уравнение траектории тела $y(x)$: $y(x) = y_0 + \frac{v_y}{v_x}(x-x_0) - \frac{g}{2v_x^2}(x-x_0)^2$. Нам нужно найти высоту $H$, когда тело будет над точкой А, то есть при $x=0$. $H = y(0) = y_0 - \frac{v_y}{v_x}x_0 - \frac{g}{2v_x^2}x_0^2$.

Вычислим необходимые величины: $\frac{v_y}{v_x} = \frac{v \cos\alpha}{-v \sin\alpha} = -\cot\alpha = -\frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$. $v_x^2 = (-\frac{\sqrt{10gR}}{3})^2 = \frac{10gR}{9}$.

Подставим все значения в уравнение для $H$: $H = \frac{5}{3}R - (-\frac{2}{\sqrt{5}})R(1 - \frac{\sqrt{5}}{3}) - \frac{g}{2(\frac{10gR}{9})}(R(1 - \frac{\sqrt{5}}{3}))^2$. $H = \frac{5}{3}R + \frac{2R}{\sqrt{5}}(1 - \frac{\sqrt{5}}{3}) - \frac{9}{20R}R^2(1 - \frac{\sqrt{5}}{3})^2$. $H = \frac{5}{3}R + R(\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{2}{3}) - \frac{9R}{20}(1 - \frac{2\sqrt{5}}{3} + \frac{5}{9})$. $H = R(\frac{5}{3} - \frac{2}{3}) + R\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{9R}{20}(\frac{9-6\sqrt{5}+5}{9})$. $H = R + R\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{R}{20}(14-6\sqrt{5})$. $H = R(1 + \frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{14-6\sqrt{5}}{20})$. $H = R(\frac{20 + 8\sqrt{5} - (14-6\sqrt{5})}{20})$. $H = R(\frac{20 + 8\sqrt{5} - 14 + 6\sqrt{5}}{20})$. $H = R(\frac{6 + 14\sqrt{5}}{20}) = R\frac{3 + 7\sqrt{5}}{10}$.

Проверим расчет. $H = y_P - \frac{v_{Py}}{v_{Px}} x_P - \frac{g}{2v_{Px}^2} x_P^2 = \frac{5}{3}R - (-\frac{2}{\sqrt{5}}) R\frac{3-\sqrt{5}}{3} - \frac{g}{2 \cdot \frac{10gR}{9}} (R\frac{3-\sqrt{5}}{3})^2$ $H = \frac{5}{3}R + \frac{2R(3-\sqrt{5})}{3\sqrt{5}} - \frac{9}{20R} R^2 \frac{(3-\sqrt{5})^2}{9} = \frac{5}{3}R + \frac{2R(3\sqrt{5}-5)}{15} - \frac{R}{20}(9-6\sqrt{5}+5)$ $H = R \left( \frac{5}{3} + \frac{6\sqrt{5}-10}{15} - \frac{14-6\sqrt{5}}{20} \right)$ Общий знаменатель 60: $H = R \left( \frac{100}{60} + \frac{4(6\sqrt{5}-10)}{60} - \frac{3(14-6\sqrt{5})}{60} \right)$ $H = \frac{R}{60} (100 + 24\sqrt{5} - 40 - 42 + 18\sqrt{5}) = \frac{R}{60} (18 + 42\sqrt{5}) = R\frac{3+7\sqrt{5}}{10}$.

Ответ: $H = \frac{3+7\sqrt{5}}{10}R$.