Номер 10, страница 362 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 10, страница 362.

Условие.

10. Шарик массой $m = 100 \text{ г}$ подвешен на нити длиной $l = 1 \text{ м}$. Шарик раскручивают так, что он движется по окружности в горизонтальной плоскости, отстоящей от точки подвеса на половину длины нити (конический маятник). Какую работу надо совершить для раскручивания шарика?

Решение.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$l = 1 \text{ м}$

Плоскость вращения отстоит от точки подвеса на $h' = l/2$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$A$ — работу по раскручиванию шарика.

Решение:

Работа, которую необходимо совершить, равна изменению полной механической энергии шарика. В начальном состоянии шарик покоится в нижнем положении. Примем это положение за нулевой уровень потенциальной энергии. Тогда начальная полная механическая энергия $E_1 = 0$.

В конечном состоянии шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости и обладает как кинетической, так и потенциальной энергией. Конечная полная механическая энергия $E_2 = E_к + E_п$.

Таким образом, искомая работа $A = E_2 - E_1 = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + mgh$, где $v$ — скорость шарика, а $h$ — высота, на которую он поднялся.

1. Найдем высоту подъема $h$.

Пусть $α$ — угол отклонения нити от вертикали. Из условия задачи, вертикальное расстояние от точки подвеса до плоскости вращения равно $l/2$. Геометрически это расстояние равно $l \cos \alpha$.

$l \cos \alpha = \frac{l}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}$

Высота подъема шарика $h$ относительно начального положения равна разности длин нити и вертикальной проекции нити в конечном положении:

$h = l - l \cos \alpha = l - \frac{l}{2} = \frac{l}{2}$

Тогда изменение потенциальной энергии:

$E_п = mgh = mg \frac{l}{2}$

2. Найдем скорость шарика $v$.

На шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити. Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:

Вертикальная ось (равновесие): $T \cos \alpha = mg$

Горизонтальная ось (центростремительная сила): $T \sin \alpha = \frac{mv^2}{r}$, где $r$ — радиус окружности.

Радиус вращения $r = l \sin \alpha$.

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{mv^2/r}{mg} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{v^2}{gr}$

Отсюда выразим квадрат скорости:

$v^2 = gr \tan \alpha = g(l \sin \alpha) \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = gl \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$

Так как $\cos \alpha = 1/2$, найдем $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Подставим значения в формулу для $v^2$:

$v^2 = gl \frac{3/4}{1/2} = gl \frac{3}{2}$

Теперь найдем кинетическую энергию:

$E_к = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2} \left( gl \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{4} mgl$

3. Вычислим работу $A$.

$A = E_к + E_п = \frac{3}{4} mgl + \frac{1}{2} mgl = \frac{3}{4} mgl + \frac{2}{4} mgl = \frac{5}{4} mgl$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{5}{4} \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м} = 1.25 \cdot 0.98 \text{ Дж} = 1.225 \text{ Дж}$

Ответ: $1.225 \text{ Дж}$.