Номер 6, страница 361 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 6. Закон сохранения энергии. Параграф 6.12. Примеры решения задач. Упражнение 11 - номер 6, страница 361.

Условие.

6. На нити в вертикальной плоскости вращается груз массой $\text{m}$. Найдите разность сил натяжения нити при прохождении грузом нижней и верхней точек траектории.

Решение.

Дано:

Масса груза: $m$

Найти:

Разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории: $\Delta T = T_{ниж} - T_{верх}$

Решение:

Рассмотрим движение груза в двух точках: нижней и верхней точках траектории. Пусть $r$ – длина нити (радиус окружности), $v_{ниж}$ – скорость груза в нижней точке, а $v_{верх}$ – скорость в верхней точке.

1. Нижняя точка траектории.

На груз действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_{ниж}$, направленная вертикально вверх, к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_{ниж}^2}{r}$, направленное также к центру окружности (вверх).

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T_{ниж} - mg = m \frac{v_{ниж}^2}{r}$

Отсюда выразим силу натяжения в нижней точке:

$T_{ниж} = mg + m \frac{v_{ниж}^2}{r}$ (1)

2. Верхняя точка траектории.

На груз действуют те же две силы, но теперь они обе направлены вертикально вниз, к центру окружности: и сила тяжести $mg$, и сила натяжения нити $T_{верх}$. Их равнодействующая сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_{верх}^2}{r}$, направленное к центру (вниз).

В проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$T_{верх} + mg = m \frac{v_{верх}^2}{r}$

Отсюда выразим силу натяжения в верхней точке:

$T_{верх} = m \frac{v_{верх}^2}{r} - mg$ (2)

3. Связь между скоростями через закон сохранения энергии.

Система, состоящая из груза и Земли, является замкнутой, и сила натяжения нити работы не совершает (так как перпендикулярна скорости). Поэтому для груза выполняется закон сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение груза в нижней точке траектории. Тогда в нижней точке высота $h_{ниж} = 0$, а в верхней $h_{верх} = 2r$.

Полная механическая энергия в нижней точке: $E_{ниж} = E_{к, ниж} + E_{п, ниж} = \frac{1}{2}mv_{ниж}^2 + 0$

Полная механическая энергия в верхней точке: $E_{верх} = E_{к, верх} + E_{п, верх} = \frac{1}{2}mv_{верх}^2 + mg(2r)$

По закону сохранения энергии $E_{ниж} = E_{верх}$:

$\frac{1}{2}mv_{ниж}^2 = \frac{1}{2}mv_{верх}^2 + 2mgr$

Умножим обе части на $2/m$:

$v_{ниж}^2 = v_{верх}^2 + 4gr$

Отсюда найдем разность квадратов скоростей:

$v_{ниж}^2 - v_{верх}^2 = 4gr$

Умножим на $m/r$:

$m \frac{v_{ниж}^2}{r} - m \frac{v_{верх}^2}{r} = 4mg$ (3)

4. Нахождение разности сил натяжения.

Найдем искомую разность, вычтя из уравнения (1) уравнение (2):

$\Delta T = T_{ниж} - T_{верх} = (mg + m \frac{v_{ниж}^2}{r}) - (m \frac{v_{верх}^2}{r} - mg)$

$\Delta T = mg + m \frac{v_{ниж}^2}{r} - m \frac{v_{верх}^2}{r} + mg$

$\Delta T = 2mg + (m \frac{v_{ниж}^2}{r} - m \frac{v_{верх}^2}{r})$

Подставим в это выражение результат из уравнения (3):

$\Delta T = 2mg + 4mg = 6mg$

Ответ: Разность сил натяжения нити равна $6mg$.