Номер 5, страница 375 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 12. Параграф 7.2. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 5, страница 375.

Условие.

5. Трамвай движется со скоростью $\vec{v}$. Радиус трамвайного колеса равен $\text{r}$, а радиус реборды — $\text{R}$ (рис. 7.13). С какой скоростью и в каком направлении движется в данный момент времени верхняя точка реборды (точка $\text{B}$)?

Рис. 7.13

Решение.

Дано:

Скорость трамвая (центра колеса): $v$
Радиус колеса: $r$
Радиус реборды: $R$

Найти:

Скорость верхней точки реборды (точка B): $v_B$

Решение:

Движение любой точки колеса трамвая можно представить как сумму двух движений: поступательного движения вместе с центром колеса O со скоростью $\vec{v}$ и вращательного движения вокруг центра O.

1. Найдем угловую скорость вращения колеса $\omega$. Колесо катится по рельсу без проскальзывания. Это означает, что мгновенная скорость точки колеса, касающейся рельса, равна нулю. Радиус колеса, который катится по рельсу, равен $r$. Скорость точки касания складывается из поступательной скорости центра колеса $v$ (направленной вперед) и линейной скорости вращения $v_{вр}$, направленной в противоположную сторону (назад).

Линейная скорость вращения точки на ободе радиусом $r$ равна $v_{вр} = \omega r$.

Поскольку точка касания неподвижна относительно рельса, то $v - v_{вр} = 0$, откуда $v - \omega r = 0$.

Следовательно, угловая скорость вращения колеса:

$\omega = \frac{v}{r}$

2. Теперь найдем скорость верхней точки реборды (точки B). Скорость этой точки $\vec{v}_B$ также является векторной суммой поступательной скорости центра колеса $\vec{v}$ и линейной скорости вращения точки B вокруг центра O, $\vec{v}_{вр, B}$.

$\vec{v}_B = \vec{v} + \vec{v}_{вр, B}$

Поступательная скорость $\vec{v}$ направлена горизонтально, в сторону движения трамвая.

Точка B находится на расстоянии $R$ от центра вращения O. Линейная скорость ее вращения равна:

$v_{вр, B} = \omega R$

Подставим найденное значение $\omega$:

$v_{вр, B} = \frac{v}{r} R$

Поскольку точка B является верхней точкой реборды, вектор ее линейной скорости вращения $\vec{v}_{вр, B}$ направлен в ту же сторону, что и вектор поступательной скорости $\vec{v}$ (горизонтально, по ходу движения трамвая).

Таким образом, для нахождения модуля результирующей скорости $v_B$ нужно сложить модули скоростей:

$v_B = v + v_{вр, B} = v + \frac{v}{r} R = v \left(1 + \frac{R}{r}\right)$

Направление скорости точки B совпадает с направлением движения трамвая.

Ответ: Скорость верхней точки реборды равна $v_B = v(1 + \frac{R}{r})$, а ее направление совпадает с направлением движения трамвая.