Номер 10, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 13. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 10, страница 388.

Условие.

10. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика массой $\text{m}$ каждый. Кубики соединены пружиной жёсткостью $\text{k}$. Длина пружины в нерастянутом состоянии $l_0$. На правый кубик начинает действовать постоянная горизонтальная сила $\vec{F}$ (рис. 7.28). Найдите минимальное и максимальное расстояния между кубиками при движении системы.

Рис. 7.28

Решение.

Дано:

Масса каждого кубика: $m$

Жесткость пружины: $k$

Длина пружины в нерастянутом состоянии: $l_0$

Действующая постоянная сила: $F$

Найти:

$l_{min}$ - минимальное расстояние между кубиками

$l_{max}$ - максимальное расстояние между кубиками

Решение:

Движение системы можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного движения центра масс системы и колебательного движения кубиков относительно центра масс.

Центр масс системы из двух кубиков общей массой $M = 2m$ движется под действием внешней силы $F$ с постоянным ускорением $a_c = \frac{F}{2m}$.

Чтобы описать относительное движение кубиков, запишем второй закон Ньютона для каждого из них. Пусть $x_1$ и $x_2$ — координаты левого и правого кубиков соответственно. Расстояние между ними $l = x_2 - x_1$. Сила упругости пружины $F_{упр} = k(l - l_0)$.

Для левого кубика: $m \ddot{x}_1 = k(l - l_0)$

Для правого кубика: $m \ddot{x}_2 = F - k(l - l_0)$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы получить уравнение для относительного ускорения $\ddot{l} = \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1$:

$m(\ddot{x}_2 - \ddot{x}_1) = F - 2k(l - l_0)$

$m \ddot{l} = F - 2k(l - l_0)$

Это уравнение описывает гармонические колебания. Чтобы найти положение равновесия, приравняем ускорение к нулю $(\ddot{l} = 0)$:

$0 = F - 2k(l_{равн} - l_0)$

$l_{равн} = l_0 + \frac{F}{2k}$

Таким образом, расстояние между кубиками колеблется около равновесного значения $l_{равн}$. Минимальное и максимальное расстояния являются крайними точками (амплитудными положениями) этих колебаний. В этих точках относительная скорость кубиков равна нулю $(\dot{l} = 0)$.

В начальный момент времени $(t=0)$ кубики покоились, и пружина была нерастянута. Это означает, что начальное расстояние $l(0) = l_0$, а начальная относительная скорость $\dot{l}(0) = 0$. Поскольку относительная скорость равна нулю, начальное положение является одной из крайних точек колебаний.

После приложения силы $F$ правый кубик начнет двигаться вправо, и пружина будет растягиваться. Следовательно, начальное расстояние $l_0$ является минимальным расстоянием в процессе движения.

$l_{min} = l_0$

Колебания происходят симметрично относительно положения равновесия $l_{равн}$. Амплитуда колебаний $A$ равна разности между положением равновесия и одной из крайних точек:

$A = l_{равн} - l_{min} = (l_0 + \frac{F}{2k}) - l_0 = \frac{F}{2k}$

Максимальное расстояние будет в другой крайней точке колебаний, на расстоянии амплитуды от положения равновесия:

$l_{max} = l_{равн} + A = (l_0 + \frac{F}{2k}) + \frac{F}{2k} = l_0 + \frac{F}{k}$

Ответ: Минимальное расстояние между кубиками $l_{min} = l_0$, максимальное расстояние $l_{max} = l_0 + \frac{F}{k}$.