Номер 3, страница 405 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 14. Параграф 7.10. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 3, страница 405.

Условие.

3. Горизонтальная платформа, представляющая собой диск массой $\text{m}$ и радиусом $\text{R}$, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. На краю платформы стоит человек массой $m_1$. С какой скоростью $\omega_1$ будет вращаться платформа, если человек перейдёт от края платформы к её центру? Человека можно рассматривать как материальную точку.

Решение.

Дано:

Масса платформы (диска): $m$

Радиус платформы: $R$

Начальная угловая скорость: $\omega$

Масса человека: $m_1$

Начальное положение человека: на краю платформы ($r = R$)

Конечное положение человека: в центре платформы ($r_1 = 0$)

Найти:

Конечная угловая скорость: $\omega_1$

Решение:

Система, состоящая из платформы и человека, является замкнутой, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы, а моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения момента импульса.

Запишем закон сохранения момента импульса:

$L = L_1$

где $L$ – начальный момент импульса системы, а $L_1$ – конечный момент импульса системы.

Момент импульса системы равен произведению момента инерции системы $I$ на ее угловую скорость $\omega$: $L = I \cdot \omega$.

Найдем начальный момент инерции системы $I$. Он равен сумме момента инерции платформы (диска) $I_п$ и момента инерции человека $I_ч$, которого мы рассматриваем как материальную точку.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр: $I_п = \frac{1}{2}mR^2$.

В начальный момент времени человек стоит на краю платформы, на расстоянии $R$ от оси вращения. Его момент инерции: $I_ч = m_1R^2$.

Таким образом, начальный момент инерции всей системы:

$I = I_п + I_ч = \frac{1}{2}mR^2 + m_1R^2$

Начальный момент импульса системы:

$L = I \omega = (\frac{1}{2}mR^2 + m_1R^2)\omega$

Теперь найдем конечный момент инерции системы $I_1$, когда человек перешел в центр платформы. Момент инерции платформы не изменился, а момент инерции человека стал равен нулю, так как его расстояние до оси вращения стало равным нулю ($r_1 = 0$).

$I_{ч1} = m_1 \cdot 0^2 = 0$

Конечный момент инерции системы:

$I_1 = I_п + I_{ч1} = \frac{1}{2}mR^2 + 0 = \frac{1}{2}mR^2$

Конечный момент импульса системы:

$L_1 = I_1 \omega_1 = \frac{1}{2}mR^2 \omega_1$

Приравняем начальный и конечный моменты импульса:

$(\frac{1}{2}mR^2 + m_1R^2)\omega = \frac{1}{2}mR^2 \omega_1$

Вынесем $R^2$ за скобки в левой части уравнения:

$R^2(\frac{m}{2} + m_1)\omega = \frac{1}{2}mR^2 \omega_1$

Сократим $R^2$:

$(\frac{m}{2} + m_1)\omega = \frac{m}{2}\omega_1$

Выразим конечную угловую скорость $\omega_1$:

$\omega_1 = \frac{(\frac{m}{2} + m_1)\omega}{\frac{m}{2}} = \frac{\frac{m + 2m_1}{2}}{\frac{m}{2}}\omega = \frac{m + 2m_1}{m}\omega$

Можно также записать в виде:

$\omega_1 = (1 + \frac{2m_1}{m})\omega$

Ответ: $\omega_1 = (1 + \frac{2m_1}{m})\omega$