Номер 4, страница 405 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 14. Параграф 7.10. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 4, страница 405.

Условие.

4. На барабан с горизонтальной осью вращения радиусом $R = 0.5 \text{ м}$ намотан шнур, к концу которого привязан груз массой $m = 10 \text{ кг}$. Найдите момент инерции барабана, если известно, что угловое ускорение $\beta = 2 \text{ рад/с}^2$. Трением пренебречь.

Решение.

Дано:

Радиус барабана, $R = 0,5$ м

Масса груза, $m = 10$ кг

Угловое ускорение, $\beta = 2$ рад/с²

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Момент инерции барабана, $I$

Решение:

На систему действуют две силы: сила тяжести груза $mg$ и сила натяжения шнура $T$.

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения груза. Ось $Y$ направим вертикально вниз:

$mg - T = ma$

где $a$ – линейное ускорение груза.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для барабана. Вращающий момент $M$ создается силой натяжения шнура $T$, приложенной на расстоянии $R$ от оси вращения:

$M = T \cdot R$

Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения:

$M = I \cdot \beta$

где $I$ – искомый момент инерции барабана, а $\beta$ – его угловое ускорение.

Приравняв два выражения для момента силы, получим:

$T \cdot R = I \cdot \beta$

Так как шнур нерастяжим и не проскальзывает, линейное ускорение груза $a$ связано с угловым ускорением барабана $\beta$ соотношением:

$a = \beta \cdot R$

Теперь мы имеем систему уравнений:

$mg - T = ma$

$T \cdot R = I \cdot \beta$

$a = \beta \cdot R$

Подставим выражение для $a$ из третьего уравнения в первое:

$mg - T = m\beta R$

Выразим отсюда силу натяжения $T$:

$T = mg - m\beta R = m(g - \beta R)$

Подставим полученное выражение для $T$ во второе уравнение:

$m(g - \beta R) \cdot R = I \cdot \beta$

Выразим из этого уравнения момент инерции $I$:

$I = \frac{mR(g - \beta R)}{\beta}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$I = \frac{10 \, \text{кг} \cdot 0,5 \, \text{м} \cdot (9,8 \, \text{м/с}^2 - 2 \, \text{рад/с}^2 \cdot 0,5 \, \text{м})}{2 \, \text{рад/с}^2}$

$I = \frac{5 \cdot (9,8 - 1)}{2} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$

$I = \frac{5 \cdot 8,8}{2} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$

$I = 5 \cdot 4,4 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$

$I = 22 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$

Ответ: момент инерции барабана равен $22 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$.