Номер 1, страница 405 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 7. Движение твёрдого тела. Параграф 7.10. Примеры решения задач. Упражнение 14 - номер 1, страница 405.

Условие.

Упражнение 14

1. Докажите, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

$E_k = \frac{J\omega^2}{2},$

где $\text{J}$ — момент инерции, а $\omega$ — угловая скорость.

Решение.

1. Решение

Рассмотрим твёрдое тело как совокупность материальных точек. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, из которых оно состоит.

Кинетическая энергия i-й материальной точки с массой $m_i$ и скоростью $v_i$ определяется формулой:

$E_{ki} = \frac{m_i v_i^2}{2}$

Полная кинетическая энергия тела есть сумма энергий всех его точек:

$E_k = \sum E_{ki} = \sum \frac{m_i v_i^2}{2}$

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси все его точки движутся по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Угловая скорость $\omega$ для всех точек тела в данный момент времени одинакова. Линейная скорость i-й точки, находящейся на расстоянии $r_i$ от оси вращения, связана с угловой скоростью соотношением:

$v_i = \omega r_i$

Подставим это выражение для линейной скорости в формулу полной кинетической энергии:

$E_k = \sum \frac{m_i (\omega r_i)^2}{2} = \sum \frac{m_i r_i^2 \omega^2}{2}$

Так как множитель $\frac{\omega^2}{2}$ является общим для всех слагаемых суммы, его можно вынести за знак суммирования:

$E_k = \frac{\omega^2}{2} \sum m_i r_i^2$

Величина $J = \sum m_i r_i^2$ является моментом инерции твёрдого тела относительно данной оси вращения. Момент инерции — это мера инертности тела во вращательном движении.

Таким образом, заменяя сумму на $J$, получаем окончательную формулу для кинетической энергии вращающегося твёрдого тела:

$E_k = \frac{J\omega^2}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на представлении твердого тела как системы материальных точек. Суммарная кинетическая энергия всех точек $E_k = \sum \frac{m_i v_i^2}{2}$ с учетом связи линейной и угловой скоростей $v_i = \omega r_i$ преобразуется к виду $E_k = \frac{\omega^2}{2} \sum m_i r_i^2$. Признавая в сумме $\sum m_i r_i^2$ определение момента инерции $J$, мы приходим к доказываемой формуле $E_k = \frac{J\omega^2}{2}$.