Номер 2, страница 405 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 14. Параграф 7.10. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 2, страница 405.

Условие.

2. Сплошной цилиндр радиусом $\text{R}$ и массой $\text{m}$ скатывается с наклонной плоскости с углом $\alpha$. Определите ускорение центра масс цилиндра и силу трения.

Решение.

Дано:

Сплошной цилиндр
Масса: $m$
Радиус: $R$
Угол наклона плоскости: $\alpha$

Найти:

Ускорение центра масс - $a_c$
Силу трения - $F_{тр}$

Решение:

На цилиндр, скатывающийся с наклонной плоскости без проскальзывания, действуют три силы: сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($N$) и сила трения покоя ($F_{тр}$), которая обеспечивает вращение.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY - перпендикулярно ей вверх.

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс в проекции на ось OX:

$mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma_c$ (1)

где $a_c$ — искомое ускорение центра масс.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра:

$M = I \epsilon$

Момент силы трения, создающий вращение, равен $M = F_{тр} R$. Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси симметрии равен $I = \frac{1}{2}mR^2$. Угловое ускорение обозначим как $\epsilon$.

Тогда уравнение принимает вид:

$F_{тр} R = \frac{1}{2}mR^2 \epsilon$ (2)

Условие качения без проскальзывания связывает линейное ускорение центра масс и угловое ускорение соотношением:

$a_c = \epsilon R$, из которого следует, что $\epsilon = \frac{a_c}{R}$.

Подставим это выражение для $\epsilon$ в уравнение (2):

$F_{тр} R = \frac{1}{2}mR^2 \frac{a_c}{R}$

Сокращая $R$ в правой части, получаем выражение для силы трения через ускорение:

$F_{тр} = \frac{1}{2}ma_c$ (3)

Теперь подставим полученное выражение для силы трения (3) в уравнение для поступательного движения (1), чтобы найти ускорение:

$mg \sin(\alpha) - \frac{1}{2}ma_c = ma_c$

Перенесем слагаемое с ускорением в правую часть:

$mg \sin(\alpha) = ma_c + \frac{1}{2}ma_c = \frac{3}{2}ma_c$

Сокращая массу $m$ и выражая $a_c$, получаем:

$a_c = \frac{2}{3} g \sin(\alpha)$

Для нахождения силы трения подставим полученное значение $a_c$ обратно в уравнение (3):

$F_{тр} = \frac{1}{2}m \left( \frac{2}{3} g \sin(\alpha) \right) = \frac{1}{3} mg \sin(\alpha)$

Ускорение центра масс цилиндра

Исходя из приведенного решения, ускорение центра масс сплошного цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, определяется по формуле:

Ответ: $a_c = \frac{2}{3} g \sin(\alpha)$

Сила трения

Исходя из приведенного решения, сила трения, действующая на цилиндр, определяется по формуле:

Ответ: $F_{тр} = \frac{1}{3} mg \sin(\alpha)$