Номер 7, страница 431 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 8. Статика. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Упражнение 15 - номер 7, страница 431.

Условие.

7. Тяжёлый однородный стержень согнули в середине под углом $90^\circ$ и подвесили на нити за один из концов. Какой угол с вертикалью образует прикреплённая к нити сторона на стержня?

Решение.

Дано:

Однородный стержень согнут в середине.

Угол сгиба: $\gamma = 90^\circ$.

Стержень подвешен за один из концов.

Найти:

Угол $\alpha$ между прикрепленной к нити стороной стержня и вертикалью.

Решение:

Поскольку стержень однородный и согнут посередине, мы можем рассматривать его как систему из двух одинаковых стержней одинаковой длины и массы, соединенных под прямым углом.

Пусть длина каждой половины стержня равна $L$, а масса каждой половины равна $m$.

Введем систему координат так, чтобы место сгиба находилось в начале координат (0,0). Одну часть стержня расположим вдоль оси Ox, а другую — вдоль оси Oy. Тогда концы стержня будут в точках A(L, 0) и B(0, L).

Центр масс первой части стержня (на оси Ox) находится в точке $C_1$ с координатами $(\frac{L}{2}, 0)$.

Центр масс второй части стержня (на оси Oy) находится в точке $C_2$ с координатами $(0, \frac{L}{2})$.

Найдем координаты общего центра масс $C_{общ}(x_c, y_c)$ всей системы:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot \frac{L}{2} + m \cdot 0}{m + m} = \frac{\frac{mL}{2}}{2m} = \frac{L}{4}$

$y_c = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot 0 + m \cdot \frac{L}{2}}{m + m} = \frac{\frac{mL}{2}}{2m} = \frac{L}{4}$

Таким образом, общий центр масс согнутого стержня находится в точке $C_{общ}$ с координатами $(\frac{L}{4}, \frac{L}{4})$.

Стержень подвешен за один из концов, например, за точку A(L, 0). В положении равновесия точка подвеса и общий центр масс должны находиться на одной вертикальной линии, причем центр масс должен быть расположен ниже точки подвеса.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между прикрепленной к нити стороной (которая в нашей системе координат лежит на оси Ox) и вертикалью (линией, проходящей через точки A и $C_{общ}$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой подвеса A(L, 0), центром масс $C_{общ}(\frac{L}{4}, \frac{L}{4})$ и проекцией центра масс на ось Ox, точкой P$(\frac{L}{4}, 0)$.

Катеты этого треугольника равны:

Противолежащий катет (вертикальный): $PC_{общ} = y_c - y_p = \frac{L}{4} - 0 = \frac{L}{4}$

Прилежащий катет (горизонтальный): $AP = x_a - x_p = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4}$

Тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\text{tg}(\alpha) = \frac{PC_{общ}}{AP} = \frac{\frac{L}{4}}{\frac{3L}{4}} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим угол:

$\alpha = \text{arctg}(\frac{1}{3})$

Ответ: Прикрепленная к нити сторона стержня образует с вертикалью угол $\alpha = \text{arctg}(\frac{1}{3})$, что приблизительно равно $18.4^\circ$.