Номер 2, страница 430 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 2, страница 430.

Условие.

2. Шарик радиусом $\text{r}$ и массой $\text{m}$ удерживается на неподвижном шаре радиусом $\text{R}$ невесомой нитью, закреплённой в верхней точке шара. Нить расположена горизонтально, трение отсутствует (рис. 8.32). Найдите силу натяжения нити и силу $\vec{N}$, с которой большой шар действует на маленький шарик.

Рис. 8.32

Решение.

Дано:

Радиус маленького шарика: $r$
Масса маленького шарика: $m$
Радиус большого шара: $R$

Найти:
Силу натяжения нити $T$ - ?
Силу нормальной реакции $N$ - ?

Решение:

На маленький шарик в состоянии равновесия действуют три силы:
1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, которая по условию направлена горизонтально.
3. Сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны большого шара. Эта сила перпендикулярна поверхности в точке касания и, следовательно, направлена по линии, соединяющей центры шаров $O$ и $O_1$.

Поскольку шарик находится в равновесии, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{T} + \vec{N} + m\vec{g} = 0$

Выберем систему координат с началом в центре большого шара $O$. Ось $Oy$ направим вертикально вверх, а ось $Ox$ — горизонтально вправо. Пусть линия центров $OO_1$ составляет угол $\alpha$ с вертикалью.

Спроецируем уравнение равновесия на оси координат:

Ось $Ox$: $N \sin\alpha - T = 0$

Ось $Oy$: $N \cos\alpha - mg = 0$

Из этих уравнений можно выразить искомые силы через $m$, $g$ и угол $\alpha$:

Из второго уравнения: $N = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Подставив это в первое уравнение, получим: $T = N \sin\alpha = \frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = mg \tan\alpha$

Для нахождения угла $\alpha$ обратимся к геометрии задачи и условию равновесия. По условию, нить закреплена в верхней точке большого шара (на высоте $R$ от центра $O$) и расположена горизонтально. Это означает, что линия действия силы натяжения $\vec{T}$ — это горизонтальная прямая, проходящая на высоте $R$ от центра $O$.

Для того чтобы шарик находился в состоянии покоя, необходимо также и равновесие моментов сил. Рассмотрим моменты сил относительно центра масс маленького шарика $O_1$. Силы $m\vec{g}$ и $\vec{N}$ приложены к центру масс (или их линии действия проходят через него), поэтому их моменты равны нулю. Для равенства нулю суммарного момента, момент силы натяжения $\vec{T}$ также должен быть равен нулю. Это возможно только в том случае, если линия действия силы $\vec{T}$ проходит через центр $O_1$.

Следовательно, центр маленького шарика $O_1$ должен находиться на той же высоте, что и линия действия нити, то есть на высоте $R$ над центром большого шара $O$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок $OO_1$, соединяющий центры шаров. Длина этой гипотенузы равна сумме радиусов: $R+r$. Вертикальный катет этого треугольника равен высоте центра $O_1$ над $O$, то есть $R$. Угол, противолежащий горизонтальному катету, как раз является углом $\alpha$.

Из этого треугольника находим косинус угла $\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{R}{R+r}$

Зная косинус, можем найти синус угла $\alpha$:

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{R}{R+r}\right)^2} = \sqrt{\frac{(R+r)^2 - R^2}{(R+r)^2}} = \frac{\sqrt{R^2 + 2Rr + r^2 - R^2}}{R+r} = \frac{\sqrt{2Rr + r^2}}{R+r}$

Теперь подставим полученные выражения для $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ в формулы для $N$ и $T$.

Модуль силы нормальной реакции:

$N = \frac{mg}{\cos\alpha} = \frac{mg}{R / (R+r)} = mg \frac{R+r}{R}$

Модуль силы натяжения нити:

$T = mg \tan\alpha = mg \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = mg \frac{\sqrt{2Rr + r^2}/(R+r)}{R/(R+r)} = mg \frac{\sqrt{2Rr + r^2}}{R} = mg \frac{\sqrt{r(2R+r)}}{R}$

Ответ:

Сила натяжения нити равна $T = mg \frac{\sqrt{r(2R+r)}}{R}$.

Сила $\vec{N}$, с которой большой шар действует на маленький шарик, по модулю равна $N = mg \frac{R+r}{R}$ и направлена по линии, соединяющей центры шаров.