Номер 19, страница 434 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 19, страница 434.

Условие.

19. Однородный металлический стержень лежит в тележке длиной $\text{l}$ и высотой $\text{h}$ так, что его конец выступает наружу (рис. 8.43). С каким ускорением $\vec{a}$ должна двигаться тележка, чтобы стержень не давил на край её передней стенки?

Рис. 8.43

Решение.

Дано:

Длина тележки - $l$

Высота тележки - $h$

Ускорение свободного падения - $g$

Найти:

Ускорение тележки - $a$

Решение:

Рассмотрим задачу в неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой. В этой системе на центр масс стержня, помимо силы тяжести $m\vec{g}$, направленной вертикально вниз, действует сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную ускорению.

Стержень опирается на дно тележки в левом нижнем углу и на край передней стенки в правом верхнем углу. Условие, что стержень не давит на край передней стенки, означает, что сила нормальной реакции $N$ со стороны этой стенки равна нулю. Это значит, что стержень находится на грани поворота вокруг точки опоры в левом нижнем углу. В этом предельном случае для равновесия стержня необходимо, чтобы сумма моментов сил относительно точки опоры (левого нижнего угла) была равна нулю.

Пусть стержень образует с горизонталью угол $\alpha$. Из геометрии рисунка следует, что $\tan(\alpha) = \frac{h}{l}$.

Сила тяжести $m\vec{g}$ и сила инерции $\vec{F}_{ин}$ приложены к центру масс стержня. Обозначим расстояние от точки опоры до центра масс как $L_{c}$.

Момент силы тяжести $M_g$ относительно точки опоры стремится повернуть стержень по часовой стрелке. Его плечо равно $d_g = L_c \cos(\alpha)$.

$M_g = mg \cdot d_g = mg L_c \cos(\alpha)$

Момент силы инерции $M_{ин}$ (её модуль $F_{ин} = ma$) стремится повернуть стержень против часовой стрелки. Его плечо равно $d_{ин} = L_c \sin(\alpha)$.

$M_{ин} = ma \cdot d_{ин} = ma L_c \sin(\alpha)$

Условие равновесия моментов (сумма моментов равна нулю):

$M_{ин} - M_g = 0 \implies M_{ин} = M_g$

$ma L_c \sin(\alpha) = mg L_c \cos(\alpha)$

Сократим обе части уравнения на $m L_c$ (так как масса и расстояние не равны нулю):

$a \sin(\alpha) = g \cos(\alpha)$

Отсюда выразим искомое ускорение $a$:

$a = g \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = g \cot(\alpha)$

Из геометрии задачи мы знаем, что $\tan(\alpha) = \frac{h}{l}$, следовательно, котангенс этого угла равен:

$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{l}{h}$

Подставим это значение в выражение для ускорения:

$a = g \frac{l}{h}$

Ответ: Ускорение, с которым должна двигаться тележка, равно $a = g \frac{l}{h}$.