Номер 26, страница 492 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 26, страница 492.

Условие.

26. На гладкой горизонтальной поверхности стоит сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется отверстие площадью $\text{S}$. Какую силу надо приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды в сосуде равна $\text{h}$?

Решение.

Дано

Площадь отверстия: $S$

Высота уровня воды: $h$

Плотность воды: $\rho$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Силу, необходимую для удержания сосуда в равновесии: $F$

Решение

Когда вода вытекает из отверстия в сосуде, она создает реактивную силу (силу отдачи), которая толкает сосуд в направлении, противоположном истечению струи. Чтобы удержать сосуд в равновесии (неподвижном состоянии), необходимо приложить внешнюю силу $F$, равную по модулю и противоположную по направлению этой реактивной силе.

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, реактивная сила $F_{реак}$ равна скорости изменения импульса вытекающей воды:

$F_{реак} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$

За малый промежуток времени $\Delta t$ из отверстия вытекает масса воды $\Delta m$, которая приобретает скорость $v$. Изменение ее импульса составляет $\Delta p = \Delta m \cdot v$. Тогда реактивная сила равна:

$F_{реак} = \frac{\Delta m}{\Delta t} v$

Величина $\frac{\Delta m}{\Delta t}$ — это массовый расход воды. Его можно выразить через объемный расход $Q$: $\frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho Q$, где $\rho$ — плотность воды. Объемный расход, в свою очередь, равен произведению площади отверстия $S$ на скорость истечения воды $v$: $Q = S \cdot v$.

Таким образом, массовый расход равен:

$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v$

Подставим это выражение в формулу для реактивной силы:

$F_{реак} = (\rho S v) \cdot v = \rho S v^2$

Скорость истечения воды $v$ из отверстия, расположенного на глубине $h$ от свободной поверхности, определяется по формуле Торричелли (которая является следствием уравнения Бернулли):

$v = \sqrt{2gh}$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Возведем скорость в квадрат:

$v^2 = 2gh$

Теперь подставим полученное значение $v^2$ в выражение для реактивной силы:

$F_{реак} = \rho S (2gh) = 2\rho g h S$

Сила $F$, которую необходимо приложить для удержания сосуда, должна уравновешивать реактивную силу, то есть быть равной ей по модулю:

$F = F_{реак} = 2\rho g h S$

Ответ: Сила, которую надо приложить к сосуду, равна $F = 2\rho g h S$.