Номер 21, страница 491 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 21, страница 491.

Условие.

21. В дне бака высотой 50 см, полностью заполненного водой, имеется отверстие площадью $1 \text{ см}^2$, значительно меньшей площади сечения бака. Если открыть отверстие, то из него начинает вытекать струя воды и падать вниз. Чему равна площадь сечения струи на высоте 20 см ниже дна?

Решение.

Дано:

Высота столба воды в баке, $H = 50$ см

Площадь отверстия в дне, $A_1 = 1$ см²

Расстояние ниже дна, на котором нужно найти площадь сечения, $h = 20$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$H = 0.5$ м

$A_1 = 1 \text{ см}^2 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-4}$ м²

$h = 0.2$ м

Найти:

Площадь сечения струи $A_2$ на расстоянии $h$ ниже дна.

Решение:

1. Найдем скорость вытекания воды из отверстия ($v_1$). Поскольку площадь сечения бака значительно больше площади отверстия, можно пренебречь скоростью понижения уровня воды в баке. В этом случае скорость истечения жидкости определяется по формуле Торричелли, которая является следствием закона Бернулли:

$v_1 = \sqrt{2gH}$

где $H$ – высота столба жидкости над отверстием, $g$ – ускорение свободного падения.

2. Когда струя воды вытекает из отверстия, она начинает падать под действием силы тяжести. Найдем скорость струи ($v_2$) на расстоянии $h$ ниже дна бака. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии для элемента массы воды $m$. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии плоскость на расстоянии $h$ ниже дна.

Энергия в момент вытекания из отверстия (на высоте $h$): $E_1 = \frac{mv_1^2}{2} + mgh$

Энергия на расстоянии $h$ ниже дна (на нулевом уровне): $E_2 = \frac{mv_2^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:
$\frac{mv_1^2}{2} + mgh = \frac{mv_2^2}{2}$

Сократив на $m$, получим:
$\frac{v_1^2}{2} + gh = \frac{v_2^2}{2}$
$v_2^2 = v_1^2 + 2gh$

Подставим выражение для $v_1^2 = 2gH$:

$v_2^2 = 2gH + 2gh = 2g(H+h)$
$v_2 = \sqrt{2g(H+h)}$

3. Для несжимаемой жидкости, как вода, справедливо уравнение неразрывности (или уравнение непрерывности), которое гласит, что объемный расход жидкости постоянен вдоль струи:

$A_1 v_1 = A_2 v_2$

Отсюда можно выразить искомую площадь сечения $A_2$:

$A_2 = A_1 \frac{v_1}{v_2}$

Подставим выражения для скоростей $v_1$ и $v_2$:

$A_2 = A_1 \frac{\sqrt{2gH}}{\sqrt{2g(H+h)}} = A_1 \sqrt{\frac{2gH}{2g(H+h)}} = A_1 \sqrt{\frac{H}{H+h}}$

Обратите внимание, что результат не зависит от ускорения свободного падения $g$.

4. Подставим числовые значения. Можно использовать значения как в СИ, так и в сантиметрах, так как их отношение будет безразмерной величиной.

$A_2 = 1 \text{ см}^2 \cdot \sqrt{\frac{50 \text{ см}}{50 \text{ см} + 20 \text{ см}}} = 1 \text{ см}^2 \cdot \sqrt{\frac{50}{70}} = 1 \text{ см}^2 \cdot \sqrt{\frac{5}{7}}$

$A_2 \approx 1 \text{ см}^2 \cdot \sqrt{0.7143} \approx 0.845 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь сечения струи на высоте 20 см ниже дна равна приблизительно $0.845$ см².