Номер 15, страница 491 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 15, страница 491.

Условие.

15. Полое тело, отлитое из алюминия, плавает в воде, погрузившись в воду ровно наполовину. Объём тела, включая полость, равен $V_0 = 400 \text{ см}^3$. Определите объём $\text{V}$ полости. Плотность алюминия $\rho_a = 2700 \text{ кг/м}^3$, плотность воды $\rho_b = 1000 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

Объём тела, включая полость, $V_0 = 400 \text{ см}^3$.

Плотность алюминия, $\rho_a = 2700 \text{ кг/м}^3$.

Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$.

Тело погружено в воду на половину своего объёма.

$V_0 = 400 \text{ см}^3 = 400 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 400 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$.

Найти:

Объём полости $V$.

Решение:

Поскольку тело плавает, действующая на него сила тяжести $F_g$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

$F_g = F_A$

Сила тяжести определяется массой тела $m$ и ускорением свободного падения $g$: $F_g = m \cdot g$.

Масса полого тела равна массе алюминия, из которого оно сделано. Объём алюминия $V_a$ равен общему объёму тела $V_0$ за вычетом объёма полости $V$.

$V_a = V_0 - V$

Тогда масса тела: $m = \rho_a \cdot V_a = \rho_a (V_0 - V)$.

Следовательно, сила тяжести: $F_g = \rho_a (V_0 - V) g$.

Выталкивающая сила Архимеда равна весу вытесненной воды. По условию, тело погружено наполовину, значит, объём погружённой части $V_{погр}$ равен половине общего объёма тела.

$V_{погр} = \frac{V_0}{2}$

Выталкивающая сила: $F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{погр} = \rho_в \cdot g \cdot \frac{V_0}{2}$.

Приравняем выражения для силы тяжести и силы Архимеда:

$\rho_a (V_0 - V) g = \rho_в \cdot g \cdot \frac{V_0}{2}$

Сократим $g$ в обеих частях уравнения:

$\rho_a (V_0 - V) = \frac{\rho_в V_0}{2}$

Раскроем скобки и выразим объём полости $V$:

$\rho_a V_0 - \rho_a V = \frac{\rho_в V_0}{2}$

$\rho_a V = \rho_a V_0 - \frac{\rho_в V_0}{2}$

$\rho_a V = V_0 (\rho_a - \frac{\rho_в}{2})$

$V = V_0 \frac{\rho_a - \frac{\rho_в}{2}}{\rho_a} = V_0 (1 - \frac{\rho_в}{2\rho_a})$

Подставим числовые значения. Удобнее вести расчёт в см$^3$, так как единицы плотности сократятся:

$V = 400 \text{ см}^3 \cdot (1 - \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{2 \cdot 2700 \text{ кг/м}^3}) = 400 \cdot (1 - \frac{1000}{5400}) = 400 \cdot (1 - \frac{5}{27})$

$V = 400 \cdot (\frac{27 - 5}{27}) = 400 \cdot \frac{22}{27} = \frac{8800}{27} \approx 325,9 \text{ см}^3$

Ответ: объём полости $V$ равен приблизительно $326 \text{ см}^3$.