Номер 12, страница 490 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 12, страница 490.

Условие.

12. Какова должна быть минимальная мощность насоса, поднимающего воду по трубе площадью сечения $\text{S}$ на высоту $\text{H}$? Насос ежесекундно перекачивает объём воды $\text{V}$.

Решение.

Дано:

Площадь поперечного сечения трубы: $S$

Высота подъема воды: $H$

Объем воды, перекачиваемый ежесекундно (объемный расход): $V$

Плотность воды: $\rho$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Минимальная мощность насоса: $P_{min}$

Решение:

Минимальная мощность насоса ($P_{min}$) — это работа ($A$), совершаемая насосом в единицу времени ($\Delta t$), которая идет на увеличение полной механической энергии воды. Полная механическая энергия состоит из потенциальной энергии ($\Delta E_p$) и кинетической энергии ($\Delta E_k$).

$P_{min} = \frac{A}{\Delta t} = \frac{\Delta E_p + \Delta E_k}{\Delta t}$

Рассмотрим промежуток времени $\Delta t = 1$ с. По условию, за это время насос перекачивает объем воды $V$.

Масса этого объема воды равна:

$m = \rho V$, где $\rho$ — плотность воды.

1. Мощность, необходимая для увеличения потенциальной энергии воды.

Вода поднимается на высоту $H$, поэтому ее потенциальная энергия увеличивается на величину:

$\Delta E_p = m g H = \rho V g H$

Мощность, затрачиваемая на подъем воды, равна:

$P_p = \frac{\Delta E_p}{\Delta t} = \frac{\rho V g H}{1 \text{ с}} = \rho V g H$

2. Мощность, необходимая для сообщения воде кинетической энергии.

Чтобы вода текла по трубе, она должна обладать некоторой скоростью $v$. Объемный расход $V$ связан со скоростью течения $v$ и площадью поперечного сечения трубы $S$ соотношением:

$V = S \cdot v$

Отсюда находим скорость воды в трубе:

$v = \frac{V}{S}$

Кинетическая энергия, которую приобретает масса воды $m$ (при условии, что начальная скорость равна нулю), равна:

$\Delta E_k = \frac{m v^2}{2} = \frac{(\rho V) \cdot \left(\frac{V}{S}\right)^2}{2} = \frac{\rho V^3}{2S^2}$

Мощность, затрачиваемая на придание воде скорости, равна:

$P_k = \frac{\Delta E_k}{\Delta t} = \frac{\rho V^3}{2S^2 \cdot 1 \text{ с}} = \frac{\rho V^3}{2S^2}$

3. Полная минимальная мощность насоса.

Полная (минимальная) мощность насоса равна сумме мощностей, затрачиваемых на увеличение потенциальной и кинетической энергий воды:

$P_{min} = P_p + P_k = \rho V g H + \frac{\rho V^3}{2S^2}$

Вынесем за скобки общий множитель $\rho V$ для получения итоговой формулы:

$P_{min} = \rho V \left(gH + \frac{V^2}{2S^2}\right)$

Ответ: Минимальная мощность насоса должна быть $P_{min} = \rho V \left(gH + \frac{V^2}{2S^2}\right)$, где $\rho$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения.