Номер 6, страница 489 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 6, страница 489.

Условие.

6. Какую наименьшую длину должна иметь железная проволока, чтобы при вертикальном положении она разорвалась под действием собственного веса? Предел прочности $3.2 \cdot 10^8 \text{ Па}$, плотность равна $7800 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

Предел прочности железа, $\sigma_{max} = 3.2 \cdot 10^8$ Па

Плотность железа, $\rho = 7800$ кг/м³

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Наименьшую длину проволоки, $L_{min}$ - ?

Решение:

Железная проволока, подвешенная вертикально, разорвется под действием собственного веса, когда механическое напряжение $\sigma$ в ней достигнет или превысит предел прочности $\sigma_{max}$. Наибольшее напряжение возникает в самом верхнем поперечном сечении проволоки, так как оно удерживает вес всей длины проволоки под ним.

Механическое напряжение $\sigma$ определяется по формуле:

$\sigma = \frac{F}{A}$

где $F$ — сила, действующая перпендикулярно на поперечное сечение, а $A$ — площадь этого сечения.

В данном случае сила $F$ равна весу $W$ всей проволоки:

$F = W = m \cdot g$

где $m$ — масса проволоки, а $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.8$ м/с²).

Массу проволоки можно выразить через ее плотность $\rho$ и объем $V$:

$m = \rho \cdot V$

Объем проволоки, имеющей длину $L$ и площадь поперечного сечения $A$, равен:

$V = A \cdot L$

Подставим выражения для массы и объема в формулу для силы (веса):

$F = W = (\rho \cdot A \cdot L) \cdot g$

Теперь подставим это выражение для силы в формулу напряжения:

$\sigma = \frac{\rho \cdot A \cdot L \cdot g}{A}$

Площадь поперечного сечения $A$ в числителе и знаменателе сокращается. Это важный результат, который показывает, что предельная длина не зависит от толщины (диаметра) проволоки.

$\sigma = \rho \cdot L \cdot g$

Условие разрыва проволоки выполняется, когда напряжение достигает предела прочности: $\sigma = \sigma_{max}$. Наименьшая длина $L_{min}$, при которой это произойдет, находится из равенства:

$\sigma_{max} = \rho \cdot L_{min} \cdot g$

Из этого уравнения выразим искомую минимальную длину $L_{min}$:

$L_{min} = \frac{\sigma_{max}}{\rho \cdot g}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$L_{min} = \frac{3.2 \cdot 10^8 \text{ Па}}{7800 \text{ кг/м³} \cdot 9.8 \text{ м/с²}} = \frac{3.2 \cdot 10^8}{76440} \approx 4186.3 \text{ м}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как точность исходных данных (3,2 и 7800) соответствует двум значащим цифрам.

$L_{min} \approx 4200 \text{ м} = 4.2 \text{ км}$

Ответ: наименьшая длина железной проволоки, при которой она разорвется под действием собственного веса, составляет примерно 4,2 км.