Номер 5, страница 489 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 5, страница 489.

Условие.

5. Какую работу надо совершить, чтобы недеформированный резиновый шнур удлинить на 10 см? Площадь поперечного сечения шнура $1 \text{ см}^2$, первоначальная длина его 1 м, а модуль Юнга резины равен $10^7 \text{ Па}$.

Решение.

Дано:

Удлинение, $\Delta l = 10 \text{ см}$

Площадь поперечного сечения, $S = 1 \text{ см}^2$

Первоначальная длина, $l_0 = 1 \text{ м}$

Модуль Юнга, $E = 10^7 \text{ Па}$

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$S = 1 \text{ см}^2 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Работу $A$

Решение:

Работа, совершаемая при упругой деформации тела (растяжении резинового шнура), равна изменению его потенциальной энергии. Если начальная деформация равна нулю, то работа равна потенциальной энергии деформированного тела.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела вычисляется по формуле:

$A = \Pi = \frac{k (\Delta l)^2}{2}$

где $k$ – жёсткость шнура, а $\Delta l$ – его удлинение.

Жёсткость $k$ можно выразить через модуль Юнга $E$, площадь поперечного сечения $S$ и первоначальную длину $l_0$.

Согласно закону Гука для упругой деформации, механическое напряжение $\sigma$ прямо пропорционально относительному удлинению $\epsilon$:

$\sigma = E \epsilon$

где $\sigma = \frac{F}{S}$ и $\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0}$. $F$ – сила упругости.

Подставим выражения для $\sigma$ и $\epsilon$:

$\frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l_0}$

Отсюда выразим силу упругости:

$F = \frac{E S}{l_0} \Delta l$

С другой стороны, по определению жёсткости, $F = k \Delta l$. Сравнивая два выражения для силы, находим жёсткость шнура:

$k = \frac{E S}{l_0}$

Теперь подставим выражение для жёсткости в формулу для работы:

$A = \frac{1}{2} \left( \frac{E S}{l_0} \right) (\Delta l)^2 = \frac{E S (\Delta l)^2}{2 l_0}$

Подставим числовые значения в систему СИ и вычислим работу:

$A = \frac{10^7 \text{ Па} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot (0.1 \text{ м})^2}{2 \cdot 1 \text{ м}} = \frac{10^3 \cdot 0.01}{2} \text{ Дж} = \frac{10}{2} \text{ Дж} = 5 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы удлинить резиновый шнур, надо совершить работу, равную $5 \text{ Дж}$.