Номер 8, страница 489 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 8, страница 489.

Условие.

8. Балка $AB$, один конец которой укреплён шарнирно на стене, удерживается в горизонтальном положении тросом $BC$ (рис. 9.57), $AC = 3 \text{ м}$. Длина балки равна $4 \text{ м}$, а её масса $1000 \text{ кг}$. Определите необходимую площадь сечения троса, если допустимое напряжение в нём не должно превышать $10^8 \text{ Па}$.

Рис. 9.57

Решение.

Дано:

Высота крепления троса $AC = 3$ м
Длина балки $AB = l = 4$ м
Масса балки $m = 1000$ кг
Допустимое напряжение в тросе $[\sigma] = 10^8$ Па
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Необходимую площадь сечения троса $S$.

Решение:

Балка находится в состоянии равновесия. Это означает, что сумма моментов всех сил, действующих на балку относительно любой точки, равна нулю. Для удобства выберем точку А (шарнирное крепление) в качестве оси вращения. В этом случае момент силы реакции опоры в шарнире равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.

На балку действуют два момента сил относительно точки А:
1. Момент силы тяжести $M_P$, который стремится повернуть балку по часовой стрелке. Сила тяжести $P=mg$ приложена к центру масс балки, то есть на расстоянии $l/2$ от точки А.
$M_P = P \cdot \frac{l}{2} = mg\frac{l}{2}$
2. Момент силы натяжения троса $M_T$, который стремится повернуть балку против часовой стрелки. Плечо силы натяжения равно длине балки $l$, а момент создает только перпендикулярная балке составляющая силы натяжения $T_y$.
$M_T = T_y \cdot l = T \sin(\alpha) \cdot l$, где $\alpha$ - угол между тросом $BC$ и балкой $AB$.

Согласно условию равновесия, моменты должны быть равны:
$M_P = M_T$
$mg\frac{l}{2} = T \sin(\alpha) \cdot l$

Сократив длину балки $l$ в обеих частях уравнения, получим:
$\frac{mg}{2} = T \sin(\alpha)$

Из этого уравнения можно выразить силу натяжения троса $T$:
$T = \frac{mg}{2\sin(\alpha)}$

Значение $\sin(\alpha)$ найдем из геометрии системы. Треугольник $ABC$ является прямоугольным. Длину троса $BC$ (гипотенузу) найдем по теореме Пифагора:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ м.

Теперь найдем синус угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5} = 0.6$

Подставим известные значения и вычислим силу натяжения троса:
$T = \frac{1000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 0.6} = \frac{9800 \text{ Н}}{1.2} \approx 8166.7$ Н.

Механическое напряжение $\sigma$ в тросе определяется как отношение силы натяжения $T$ к площади поперечного сечения $S$:
$\sigma = \frac{T}{S}$

По условию, напряжение не должно превышать допустимое значение $[\sigma]$. Следовательно, для нахождения минимально необходимой площади сечения используем предельное значение:
$S = \frac{T}{[\sigma]}$

$S = \frac{8166.7 \text{ Н}}{10^8 \text{ Па}} \approx 8.167 \cdot 10^{-5}$ м².

Для удобства переведем результат в квадратные миллиметры, зная, что $1 \text{ м}^2 = 10^6 \text{ мм}^2$:
$S \approx 8.167 \cdot 10^{-5} \cdot 10^6 \text{ мм}^2 \approx 81.67$ мм².

Ответ: необходимая площадь сечения троса составляет приблизительно $81.67$ мм² (или $8.167 \cdot 10^{-5}$ м²).