Номер 14, страница 491 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 14, страница 491.

Условие.

14. Тонкий однородный стержень шарнирно закреплён за верхний конец. Снизу под стержень ставят сосуд с водой. Плотность материала стержня меньше плотности воды. Так как вертикальное положение стержня, погружённого нижней частью в жидкость, неустойчиво, то стержень оказывается в равновесии в отклонённом от вертикали положении. Определите плотность материала стержня, если он погружён в воду наполовину. Плотность воды $1000 \text{ кг}/\text{м}^3$.

Решение.

Дано

Плотность воды: $ρ_в = 1000$ кг/м³

Стержень погружен в воду наполовину.

Найти:

Плотность материала стержня: $ρ_с$

Решение

Пусть $L$ – длина тонкого однородного стержня, $S$ – площадь его поперечного сечения. Стержень шарнирно закреплен за верхний конец и находится в равновесии в наклонном положении. Это означает, что сумма моментов сил, действующих на него относительно точки подвеса (шарнира), равна нулю.

На стержень действуют две силы, создающие вращающий момент относительно точки подвеса: сила тяжести ($F_g$) и выталкивающая сила Архимеда ($F_A$).

1. Сила тяжести.

Сила тяжести приложена к центру масс стержня. Так как стержень однородный, его центр масс находится посередине, на расстоянии $l_g = \frac{L}{2}$ от точки подвеса. Величина силы тяжести равна:

$F_g = mg = ρ_с V g = ρ_с S L g$

Момент силы тяжести $M_g$ относительно точки подвеса равен произведению силы на плечо. Плечо силы – это расстояние от оси вращения до линии действия силы, равное $l_g \sin(α)$, где $α$ – угол отклонения стержня от вертикали.

$M_g = F_g \cdot l_g \sin(α) = (ρ_с S L g) \cdot \frac{L}{2} \sin(α)$

Этот момент стремится вернуть стержень в вертикальное положение.

2. Выталкивающая сила (сила Архимеда).

Выталкивающая сила действует на погруженную в воду часть стержня. По условию, стержень погружен наполовину, то есть объем погруженной части $V_{погр} = \frac{V}{2} = \frac{S L}{2}$. Величина выталкивающей силы:

$F_A = ρ_в g V_{погр} = ρ_в g \frac{S L}{2}$

Эта сила приложена к центру тяжести погруженной части. Погружена нижняя половина стержня (длиной $L/2$). Ее центр находится на расстоянии $\frac{L/2}{2} = \frac{L}{4}$ от нижнего конца стержня. Следовательно, расстояние от точки подвеса до точки приложения силы Архимеда равно $l_A = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4}$.

Момент выталкивающей силы $M_A$ относительно точки подвеса:

$M_A = F_A \cdot l_A \sin(α) = (ρ_в g \frac{S L}{2}) \cdot \frac{3L}{4} \sin(α)$

Этот момент стремится отклонить стержень от вертикали.

3. Условие равновесия.

Для равновесия моменты сил должны быть равны: $M_g = M_A$.

$(ρ_с S L g) \cdot \frac{L}{2} \sin(α) = (ρ_в g \frac{S L}{2}) \cdot \frac{3L}{4} \sin(α)$

Сократим обе части уравнения на общие множители: $S, L, g, \frac{L}{2}, \sin(α)$ (поскольку стержень отклонен, $α \ne 0$, и $\sin(α) \ne 0$).

$ρ_с = ρ_в \cdot \frac{3}{4}$

Подставим известное значение плотности воды:

$ρ_с = 1000 \frac{кг}{м³} \cdot \frac{3}{4} = 750 \frac{кг}{м³}$

Ответ: плотность материала стержня равна 750 кг/м³.