Номер 16, страница 491 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 16. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Глава 9. Механика деформируемых тел. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 16, страница 491.

Условие.

16. В цилиндрическом сосуде с водой плавает кусок льда, внутри которого замёрзла цинковая пластинка. Когда лёд растаял, уровень воды в сосуде понизился на $\Delta h = 3$ см. Какова масса цинковой пластинки? Внутренний диаметр сосуда $d = 30$ см; плотность цинка $\rho_Ц = 7000$ кг/м$^3$, плотность воды $\rho_В = 1000$ кг/м$^3$.

Решение.

Дано:

$\Delta h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$d = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$\rho_ц = 7000 \text{ кг/м}^3$

$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$m_ц$ - масса цинковой пластинки.

Решение:

1. Когда кусок льда с цинковой пластинкой плавает в воде, сила тяжести, действующая на него, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда). Обозначим массу льда как $m_л$, а массу цинка как $m_ц$.

$(m_л + m_ц)g = F_{А1} = \rho_в g V_1$

где $V_1$ – объем погруженной части льда с цинком. Отсюда объем воды, вытесненный плавающим телом:

$V_1 = \frac{m_л + m_ц}{\rho_в}$

2. Когда лёд растаял, он превратился в воду объемом $V_{воды\_из\_льда} = \frac{m_л}{\rho_в}$. Цинковая пластинка, плотность которой больше плотности воды, утонула и теперь находится на дне сосуда. Объем воды, вытесняемый утонувшей пластинкой, равен ее собственному объему:

$V_ц = \frac{m_ц}{\rho_ц}$

3. Уровень воды в сосуде изменился, потому что изменился суммарный объем, занимаемый в воде льдом (который стал водой) и цинковой пластинкой. Изменение уровня воды $\Delta h$ связано с изменением вытесненного объема $\Delta V$.

Рассмотрим, как изменился объем, занимаемый каждой частью системы. Масса льда $m_л$, плавая, вытесняла объем воды $V_{выт\_л} = \frac{m_л}{\rho_в}$. После таяния она превратилась в воду того же объема $V_{воды\_из\_льда} = \frac{m_л}{\rho_в}$. Таким образом, таяние чистого льда не меняет уровень воды.

Изменение уровня воды обусловлено только цинковой пластинкой. Пока она плавала внутри льда, её масса $m_ц$ поддерживалась на плаву и вытесняла объем воды $V_{выт\_ц1} = \frac{m_ц}{\rho_в}$. После таяния льда пластинка утонула и стала вытеснять объем воды, равный ее собственному объему $V_{выт\_ц2} = V_ц = \frac{m_ц}{\rho_ц}$.

4. Изменение объема вытесненной воды равно:

$\Delta V = V_{выт\_ц1} - V_{выт\_ц2} = \frac{m_ц}{\rho_в} - \frac{m_ц}{\rho_ц} = m_ц \left( \frac{1}{\rho_в} - \frac{1}{\rho_ц} \right)$

Это изменение объема привело к понижению уровня воды на $\Delta h$ в цилиндрическом сосуде. Объем этого слоя воды равен:

$\Delta V = S \cdot \Delta h$

где $S$ - площадь дна сосуда. $S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

5. Приравняем два выражения для $\Delta V$:

$\frac{\pi d^2}{4} \Delta h = m_ц \left( \frac{1}{\rho_в} - \frac{1}{\rho_ц} \right) = m_ц \frac{\rho_ц - \rho_в}{\rho_в \rho_ц}$

Выразим отсюда массу цинковой пластинки $m_ц$:

$m_ц = \frac{\pi d^2 \Delta h \rho_в \rho_ц}{4(\rho_ц - \rho_в)}$

6. Подставим числовые значения:

$m_ц = \frac{3.14 \cdot (0.3 \text{ м})^2 \cdot 0.03 \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 7000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{4(7000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})} = \frac{3.14 \cdot 0.09 \text{ м}^2 \cdot 0.03 \text{ м} \cdot 7 \cdot 10^6 \frac{\text{кг}^2}{\text{м}^6}}{4 \cdot 6000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}$

$m_ц = \frac{59346 \text{ кг}}{24000} \approx 2.47 \text{ кг}$

Ответ: масса цинковой пластинки составляет примерно 2.47 кг.