Номер 18, страница 491 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 16. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Глава 9. Механика деформируемых тел. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 18, страница 491.

Условие.

18. Сплав свинца и олова имеет в воде вес $P_1 = 500 \text{ Н}$, а в масле $P_2 = 510 \text{ Н}$. Определите массу свинца $m_с$ в слитке. Плотность свинца $\rho_с = 11\,300 \text{ кг/м}^3$, олова $\rho_о = 7400 \text{ кг/м}^3$, воды $\rho_В = 1000 \text{ кг/м}^3$, масла $\rho_М = 800 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

$P_1 = 500$ Н

$P_2 = 510$ Н

$\rho_c = 11300$ кг/м³

$\rho_o = 7400$ кг/м³

$\rho_в = 1000$ кг/м³

$\rho_м = 800$ кг/м³

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$m_c$

Решение:

Вес тела, погруженного в жидкость (кажущийся вес), определяется как разность между его истинным весом в воздухе $P_{ист}$ и выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

$P = P_{ист} - F_A$

Истинный вес сплава равен $P_{ист} = m \cdot g = (m_c + m_o)g$, где $m_c$ и $m_o$ - массы свинца и олова соответственно, а $m$ - общая масса сплава. Ускорение свободного падения $g$ примем равным $9.8$ м/с².

Выталкивающая сила равна $F_A = \rho_{ж} g V$, где $\rho_{ж}$ - плотность жидкости, а $V$ - объем вытесненной жидкости, равный объему сплава.

Объем сплава является суммой объемов его компонентов: $V = V_c + V_o = \frac{m_c}{\rho_c} + \frac{m_o}{\rho_o}$.

Запишем уравнения для веса сплава в воде ($P_1$) и в масле ($P_2$):

$P_1 = mg - \rho_в g V$ (1)

$P_2 = mg - \rho_м g V$ (2)

Вычтем из уравнения (2) уравнение (1), чтобы найти величину $gV$:

$P_2 - P_1 = (mg - \rho_м g V) - (mg - \rho_в g V) = gV(\rho_в - \rho_м)$

Отсюда выразим $gV$:

$gV = \frac{P_2 - P_1}{\rho_в - \rho_м} = \frac{510 - 500}{1000 - 800} = \frac{10}{200} = 0.05$ Н·м³/кг

Теперь, используя уравнение (1), найдем истинный вес сплава $mg$:

$mg = P_1 + \rho_в g V = 500 + 1000 \cdot 0.05 = 500 + 50 = 550$ Н

Мы получили систему уравнений, связывающую массы компонентов:

1. Сумма масс: $m_c + m_o = m = \frac{mg}{g} = \frac{550}{g}$

2. Сумма объемов: $V_c + V_o = V \Rightarrow \frac{m_c}{\rho_c} + \frac{m_o}{\rho_o} = \frac{gV}{g} = \frac{0.05}{g}$

Для удобства решения перейдем к весам компонентов: $P_c = m_c g$ и $P_o = m_o g$. Система примет вид:

1. $P_c + P_o = 550$

2. $\frac{P_c}{\rho_c} + \frac{P_o}{\rho_o} = 0.05$

Из первого уравнения выражаем $P_o = 550 - P_c$ и подставляем во второе:

$\frac{P_c}{\rho_c} + \frac{550 - P_c}{\rho_o} = 0.05$

Приведем подобные члены, чтобы выразить $P_c$:

$P_c (\frac{1}{\rho_c} - \frac{1}{\rho_o}) = 0.05 - \frac{550}{\rho_o}$

$P_c \frac{\rho_o - \rho_c}{\rho_c \rho_o} = \frac{0.05\rho_o - 550}{\rho_o}$

$P_c = \frac{(0.05\rho_o - 550)\rho_c}{\rho_o - \rho_c}$

Подставим числовые значения плотностей:

$P_c = \frac{(0.05 \cdot 7400 - 550) \cdot 11300}{7400 - 11300} = \frac{(370 - 550) \cdot 11300}{-3900} = \frac{-180 \cdot 11300}{-3900} \approx 521.54$ Н

Теперь найдем массу свинца $m_c$, приняв $g = 9.8$ м/с²:

$m_c = \frac{P_c}{g} = \frac{521.54 \text{ Н}}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx 53.218$ кг

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$m_c \approx 53.2$ кг

Ответ: $m_c \approx 53.2$ кг.