Номер 17, страница 491 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 17, страница 491.

Условие.

17. В сообщающиеся сосуды с разными диаметрами была налита ртуть. После того как в узкий сосуд налили слой масла высотой $H = 0,6$ м, уровень ртути в широком сосуде повысился относительно первоначального уровня на $h = 7$ мм. Найдите отношение диаметров сообщающихся сосудов $\frac{D}{d}$. Плотность ртути $\rho_1 = 13\,600$ кг/м$^3$, плотность масла $\rho_2 = 800$ кг/м$^3$.

Решение.

Дано:

$H = 0,6$ м

$h = 7$ мм $= 0,007$ м

$\rho_1 = 13600$ кг/м³ (плотность ртути)

$\rho_2 = 800$ кг/м³ (плотность масла)

Найти:

$\frac{D}{d}$

Решение:

Обозначим диаметры узкого и широкого сосудов как $d$ и $D$ соответственно, а их площади поперечного сечения как $S_d$ и $S_D$.

$S_d = \frac{\pi d^2}{4}$, $S_D = \frac{\pi D^2}{4}$.

Когда в узкий сосуд наливают масло, оно вытесняет ртуть. Уровень ртути в узком сосуде понижается на некоторую высоту $h'$, а в широком — повышается на высоту $h$. Объем ртути, ушедшей из узкого сосуда, равен объему ртути, прибывшей в широкий сосуд, так как жидкость несжимаема.

$V_d = V_D$

$S_d \cdot h' = S_D \cdot h$

Подставим формулы для площадей:

$\frac{\pi d^2}{4} \cdot h' = \frac{\pi D^2}{4} \cdot h$

$d^2 h' = D^2 h$

Отсюда выразим высоту $h'$, на которую опустился уровень ртути в узком сосуде:

$h' = h \frac{D^2}{d^2} = h \left(\frac{D}{d}\right)^2$

После установления равновесия, согласно закону сообщающихся сосудов, давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся жидкости одинаково. Выберем в качестве такого уровня границу раздела масла и ртути в узком сосуде. Давление на этом уровне в узком сосуде создается столбом масла высотой $H$. Давление на этом же уровне в широком сосуде создается столбом ртути, высота которого равна разности уровней ртути в сосудах $\Delta h_{Hg}$.

Разность уровней ртути в широком и узком сосудах равна сумме высоты, на которую ртуть поднялась в широком сосуде, и высоты, на которую она опустилась в узком:

$\Delta h_{Hg} = h + h'$

Условие равновесия давлений (без учета атмосферного давления, так как оно действует на оба сосуда одинаково):

$p_{масла} = p_{ртути}$

$\rho_2 g H = \rho_1 g \Delta h_{Hg}$

$\rho_2 H = \rho_1 (h + h')$

Подставим в это уравнение выражение для $h'$:

$\rho_2 H = \rho_1 \left(h + h \left(\frac{D}{d}\right)^2\right)$

$\rho_2 H = \rho_1 h \left(1 + \left(\frac{D}{d}\right)^2\right)$

Выразим искомое отношение диаметров $\frac{D}{d}$:

$\frac{\rho_2 H}{\rho_1 h} = 1 + \left(\frac{D}{d}\right)^2$

$\left(\frac{D}{d}\right)^2 = \frac{\rho_2 H}{\rho_1 h} - 1$

$\frac{D}{d} = \sqrt{\frac{\rho_2 H}{\rho_1 h} - 1}$

Подставим числовые значения:

$\frac{D}{d} = \sqrt{\frac{800 \cdot 0,6}{13600 \cdot 0,007} - 1} = \sqrt{\frac{480}{95,2} - 1} \approx \sqrt{5,042 - 1} = \sqrt{4,042} \approx 2,01$

Округляя до целого числа, получаем 2.

Ответ: $\frac{D}{d} \approx 2$.