Номер 10, страница 490 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 10, страница 490.

Условие.

10. Груз массой $m = 10 \text{ кг}$ удерживается тремя тросами (рис. 9.58) одинакового сечения и материала. Тросы расположены в одной плоскости: средний вертикально, а два других составляют с ним угол $\alpha = 60^{\circ}$. Чему равны силы упругости, возникающие в тросах?

Рис. 9.58

Решение.

Дано:

$m = 10$ кг

$\alpha = 60^\circ$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$T_1, T_2, T_3$ — силы упругости (натяжения) в тросах.

Решение:

На груз действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и три силы натяжения тросов: $\vec{T_1}$ (вертикальный трос), $\vec{T_2}$ и $\vec{T_3}$ (наклонные тросы).

Так как груз находится в равновесии, векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю (первый закон Ньютона):

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{T_3} + m\vec{g} = \vec{0}$

Выберем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально. Запишем уравнение равновесия в проекциях на эти оси:

На ось OX: $-T_2 \sin\alpha + T_3 \sin\alpha = 0$. Отсюда следует, что $T_2 = T_3$. Обозначим силу натяжения в боковых тросах как $T$, то есть $T = T_2 = T_3$.

На ось OY: $T_1 + T_2 \cos\alpha + T_3 \cos\alpha - mg = 0$. С учетом $T_2 = T_3 = T$, получаем:

$T_1 + 2T \cos\alpha = mg$

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными ($T_1$ и $T$). Такая система является статически неопределимой. Для решения необходимо дополнительное условие, которое можно получить из деформации тросов.

В условии сказано, что тросы одинакового сечения и материала. Это означает, что у них одинаковый модуль Юнга $E$ и площадь поперечного сечения $A$. Сила упругости в тросе определяется законом Гука: $T = \frac{EA}{L_0}\Delta L$, где $L_0$ — начальная длина, $\Delta L$ — удлинение.

Рассмотрим связь между удлинениями тросов. Если груз сместится на малую вертикальную величину $y$ из гипотетического положения, где натяжение отсутствует, то удлинение вертикального троса будет $\Delta L_1 = y$. Удлинение наклонных тросов будет связано с этим смещением как $\Delta L_2 = \Delta L_3 = y \cos\alpha$.

Длины тросов в положении равновесия также связаны. Если вертикальное расстояние от точки крепления груза до потолка равно $h$, то длина вертикального троса $L_1 = h$, а длина наклонных тросов $L_2 = h / \cos\alpha$.

Предполагая, что удлинения малы по сравнению с длинами тросов ($ \Delta L \ll L_0 \approx L$), можем записать:

$T_1 = \frac{EA}{L_1}\Delta L_1 = \frac{EA}{h}y$

$T = \frac{EA}{L_2}\Delta L_2 = \frac{EA}{h/\cos\alpha}(y \cos\alpha) = \frac{EA}{h}y \cos^2\alpha$

Из этих двух выражений получаем соотношение между силами натяжения:

$T = T_1 \cos^2\alpha$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $T_1 + 2T \cos\alpha = mg$

2) $T = T_1 \cos^2\alpha$

Подставим второе уравнение в первое:

$T_1 + 2(T_1 \cos^2\alpha) \cos\alpha = mg$

$T_1(1 + 2\cos^3\alpha) = mg$

$T_1 = \frac{mg}{1 + 2\cos^3\alpha}$

Подставим числовые значения. Угол $\alpha = 60^\circ$, тогда $\cos\alpha = \cos(60^\circ) = 0.5$.

$T_1 = \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{1 + 2 \cdot (0.5)^3} = \frac{100 \text{ Н}}{1 + 2 \cdot 0.125} = \frac{100 \text{ Н}}{1 + 0.25} = \frac{100 \text{ Н}}{1.25} = 80 \text{ Н}$.

Теперь найдем силу натяжения $T$ в боковых тросах:

$T = T_1 \cos^2\alpha = 80 \text{ Н} \cdot (0.5)^2 = 80 \text{ Н} \cdot 0.25 = 20 \text{ Н}$.

Следовательно, $T_2 = T_3 = 20 \text{ Н}$.

Ответ: Сила упругости в вертикальном тросе равна $80 \text{ Н}$, а в каждом из двух наклонных тросов — $20 \text{ Н}$.