Номер 13, страница 490 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 16. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Глава 9. Механика деформируемых тел. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 13, страница 490.

Условие.

13. Кубик льда плавает в воде. Поверх воды наливают керосин вровень с верхней гранью кубика. Какая часть объёма кубика будет находиться в воде? Плотность воды $10^3 \text{ кг/м}^3$, плотность льда $900 \text{ кг/м}^3$, плотность керосина $800 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

$ρ_в = 10^3 \text{ кг/м}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$ρ_л = 900 \text{ кг/м}^3$ (плотность льда)

$ρ_к = 800 \text{ кг/м}^3$ (плотность керосина)

Найти:

$\frac{V_в}{V}$ - какая часть объёма кубика находится в воде.

Решение:

Пусть $V$ - полный объём кубика льда, $V_в$ - объём части кубика, погружённой в воду, а $V_к$ - объём части кубика, погружённой в керосин.

По условию задачи, керосин налит вровень с верхней гранью кубика, это означает, что весь кубик погружён в жидкости (часть в воде, часть в керосине). Следовательно, сумма объёмов, погружённых в воду и керосин, равна общему объёму кубика:

$V = V_в + V_к$

Отсюда можно выразить объём, погружённый в керосин:

$V_к = V - V_в$

Кубик плавает, значит, он находится в равновесии. Условие равновесия заключается в том, что сила тяжести, действующая на кубик, уравновешивается суммарной выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на него со стороны воды и керосина.

Сила тяжести, действующая на кубик: $F_т = m_л g = ρ_л V g$.

Выталкивающая сила со стороны воды (действует на объём $V_в$): $F_{А,в} = ρ_в g V_в$.

Выталкивающая сила со стороны керосина (действует на объём $V_к$): $F_{А,к} = ρ_к g V_к$.

Запишем условие равновесия:

$F_т = F_{А,в} + F_{А,к}$

$ρ_л V g = ρ_в g V_в + ρ_к g V_к$

Сократим обе части уравнения на $g$:

$ρ_л V = ρ_в V_в + ρ_к V_к$

Подставим в это уравнение выражение для $V_к = V - V_в$:

$ρ_л V = ρ_в V_в + ρ_к (V - V_в)$

Раскроем скобки:

$ρ_л V = ρ_в V_в + ρ_к V - ρ_к V_в$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $V$ и $V_в$:

$ρ_л V - ρ_к V = ρ_в V_в - ρ_к V_в$

$V(ρ_л - ρ_к) = V_в(ρ_в - ρ_к)$

Из этого уравнения выразим искомую величину - отношение $\frac{V_в}{V}$:

$\frac{V_в}{V} = \frac{ρ_л - ρ_к}{ρ_в - ρ_к}$

Подставим числовые значения:

$\frac{V_в}{V} = \frac{900 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2} = 0.5$

Таким образом, половина объёма кубика будет находиться в воде.

Ответ: $0.5$ или $\frac{1}{2}$ часть объёма кубика будет находиться в воде.