Номер 7, страница 489 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 7, страница 489.

Условие.

7. Груз какой массы может быть подвешен на стальном тросе диаметром 3 см при десятикратном запасе прочности, если предел прочности стали равен $7 \cdot 10^8 \text{ Па}$?

Решение.

Дано

$d = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$n = 10$

$\sigma_{max} = 7 \cdot 10^8 \text{ Па}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$m - ?$

Решение

Максимальная масса груза определяется из условия, что напряжение $\sigma$ в тросе, создаваемое весом груза, не должно превышать допустимое напряжение $\sigma_{доп}$.

Допустимое напряжение рассчитывается путем деления предела прочности материала $\sigma_{max}$ на коэффициент запаса прочности $n$:

$\sigma_{доп} = \frac{\sigma_{max}}{n}$

Напряжение в тросе равно отношению силы упругости $F_{упр}$, которая равна по модулю весу груза $P$, к площади поперечного сечения троса $S$:

$\sigma = \frac{F_{упр}}{S} = \frac{P}{S}$

Вес груза $P$ равен силе тяжести, действующей на него: $P = mg$, где $m$ - масса груза, а $g$ - ускорение свободного падения.

Площадь поперечного сечения троса определяется по формуле площади круга через диаметр $d$:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Приравнивая напряжение в тросе к допустимому напряжению, получаем:

$\frac{mg}{S} = \sigma_{доп} = \frac{\sigma_{max}}{n}$

Выразим массу $m$ из этого уравнения:

$mg = \frac{\sigma_{max} \cdot S}{n}$

$m = \frac{\sigma_{max} \cdot S}{n \cdot g}$

Подставим формулу для площади сечения $S$:

$m = \frac{\sigma_{max} \cdot \pi d^2}{4 \cdot n \cdot g}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$m = \frac{7 \cdot 10^8 \text{ Па} \cdot \pi \cdot (0.03 \text{ м})^2}{4 \cdot 10 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{7 \cdot 10^8 \cdot 3.14 \cdot 0.0009}{392} \approx \frac{1978200}{392} \approx 5046.4 \text{ кг}$

Округлим полученное значение. Масса груза, который можно подвесить, составляет примерно 5050 кг или 5.05 тонны.

Ответ: $m \approx 5050 \text{ кг}$.