Номер 9, страница 490 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 16. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Глава 9. Механика деформируемых тел. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 9, страница 490.

Условие.

9. Однородный стержень длиной $\text{l}$ и плотностью $\rho$ движется с постоянным ускорением $\vec{a}$ по гладкой горизонтальной поверхности. Как распределяется напряжение в материале стержня вдоль его длины? Сила приложена к одному из концов стержня.

Решение.

Дано:

Длина однородного стержня: $l$
Плотность материала стержня: $\rho$
Постоянное ускорение стержня: $a$
Стержень движется по гладкой горизонтальной поверхности.

Найти:

Распределение напряжения в материале стержня вдоль его длины, $\sigma(x)$.

Решение

Пусть стержень расположен вдоль оси $Ox$. Выберем начало координат ($x=0$) на свободном конце стержня. Сила приложена к другому концу стержня в точке $x=l$, и стержень движется с ускорением $\vec{a}$ в положительном направлении оси $Ox$.

Поскольку стержень однородный, его масса распределена равномерно. Пусть площадь поперечного сечения стержня равна $S$. Тогда полная масса стержня $M$ определяется как произведение плотности на объем:

$M = \rho \cdot V = \rho S l$

Для того чтобы стержень двигался с ускорением $a$, к его концу ($x=l$) должна быть приложена внешняя сила $F$, которая согласно второму закону Ньютона равна:

$F = M a = \rho S l a$

Теперь рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня на расстоянии $x$ от свободного конца ($0 \le x \le l$). Напряжение в этом сечении обусловлено силой упругости (силой натяжения) $T(x)$, которая сообщает ускорение $a$ части стержня, находящейся между свободным концом и этим сечением (т.е. части длиной $x$).

Масса этой части стержня $m(x)$ равна:

$m(x) = \rho \cdot (S \cdot x) = \rho S x$

Применим второй закон Ньютона к этой части стержня. Единственной силой, действующей на нее в горизонтальном направлении, является сила натяжения $T(x)$ в сечении $x$:

$T(x) = m(x) \cdot a$

Подставим выражение для массы $m(x)$:

$T(x) = (\rho S x) a = \rho S a x$

Механическое напряжение $\sigma(x)$ по определению является силой, действующей на единицу площади поперечного сечения:

$\sigma(x) = \frac{T(x)}{S}$

Подставив полученное выражение для $T(x)$, найдем искомое распределение напряжения:

$\sigma(x) = \frac{\rho S a x}{S} = \rho a x$

Из полученной формулы видно, что напряжение в материале стержня распределяется по линейному закону. На свободном конце ($x=0$) напряжение равно нулю: $\sigma(0) = 0$. На конце, к которому приложена сила ($x=l$), напряжение максимально: $\sigma(l) = \rho a l$.

Ответ:

Напряжение в материале стержня распределяется по линейному закону, возрастая от нуля на свободном конце до максимального значения на конце, к которому приложена сила. Зависимость напряжения $\sigma$ от расстояния $x$ до свободного конца стержня описывается формулой: $\sigma(x) = \rho a x$.