Номер 22, страница 492 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 16. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Глава 9. Механика деформируемых тел. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 22, страница 492.

Условие.

22. Труба расположена горизонтально. В широкой части трубы диаметром $\text{D}$ расположен поршень, и на него действует постоянная сила $\vec{F}$. Узкая часть трубы имеет диаметр $\text{d}$, и из неё вытекает струя воды. Найдите скорость перемещения поршня. Трение не учитывать.

Решение.

Дано:

Диаметр широкой части трубы: $D$

Диаметр узкой части трубы: $d$

Постоянная сила, действующая на поршень: $F$

Плотность воды: $\rho$

Найти:

Скорость перемещения поршня: $v$

Решение:

Обозначим искомую скорость перемещения поршня (и воды в широкой части трубы) как $v$, а скорость вытекающей из узкой части трубы струи воды как $u$. Площади поперечного сечения широкой и узкой частей трубы равны соответственно $A_1 = \frac{\pi D^2}{4}$ и $A_2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (воды), объемный расход воды в любой части трубы постоянен:

$A_1 v = A_2 u$

Из этого соотношения можно выразить скорость $u$ через $v$:

$u = v \frac{A_1}{A_2} = v \frac{\pi D^2 / 4}{\pi d^2 / 4} = v \frac{D^2}{d^2}$

Далее применим уравнение Бернулли для двух сечений потока в горизонтальной трубе: сечение 1 в широкой части непосредственно перед поршнем и сечение 2 на выходе из узкой части. Поскольку труба расположена горизонтально, высоты в обоих сечениях одинаковы, и членами с потенциальной энергией $\rho g h$ можно пренебречь.

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho u^2$

Здесь $P_1$ — давление воды в широкой части трубы (перед поршнем), а $P_2$ — давление на выходе из узкой части. Так как струя вытекает в атмосферу, давление $P_2$ равно атмосферному давлению $P_{атм}$.

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_{атм} + \frac{1}{2}\rho u^2$

Перегруппируем члены, чтобы выразить разность давлений:

$P_1 - P_{атм} = \frac{1}{2}\rho (u^2 - v^2)$

Теперь рассмотрим силы, действующие на поршень. На поршень действует внешняя сила $F$. Со стороны жидкости на поршень действует сила давления $P_1 A_1$, направленная против движения. С обратной стороны на поршень действует сила атмосферного давления $P_{атм} A_1$. Так как трение не учитывается, а движение поршня считается установившимся (с постоянной скоростью), то приложенная сила $F$ уравновешивает разность сил давления:

$F = P_1 A_1 - P_{атм} A_1 = (P_1 - P_{атм})A_1$

Отсюда получаем еще одно выражение для разности давлений:

$P_1 - P_{атм} = \frac{F}{A_1}$

Приравнивая два полученных выражения для разности давлений $P_1 - P_{атм}$, получим:

$\frac{F}{A_1} = \frac{1}{2}\rho (u^2 - v^2)$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $u$ через $v$:

$\frac{F}{A_1} = \frac{1}{2}\rho \left( \left(v \frac{D^2}{d^2}\right)^2 - v^2 \right)$

Вынесем $v^2$ за скобки в правой части уравнения:

$\frac{F}{A_1} = \frac{1}{2}\rho v^2 \left( \left(\frac{D^2}{d^2}\right)^2 - 1 \right) = \frac{1}{2}\rho v^2 \left( \frac{D^4}{d^4} - 1 \right)$

Теперь выразим из этого уравнения квадрат скорости поршня $v^2$:

$v^2 = \frac{2F}{A_1 \rho \left( \frac{D^4}{d^4} - 1 \right)}$

Подставим выражение для площади поршня $A_1 = \frac{\pi D^2}{4}$ и преобразуем выражение в скобках:

$v^2 = \frac{2F}{\frac{\pi D^2}{4} \rho \left( \frac{D^4 - d^4}{d^4} \right)} = \frac{8F d^4}{\pi \rho D^2 (D^4 - d^4)}$

Наконец, извлекая квадратный корень, находим искомую скорость перемещения поршня:

$v = \sqrt{\frac{8F d^4}{\pi \rho D^2 (D^4 - d^4)}}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{8F d^4}{\pi \rho D^2 (D^4 - d^4)}}$