Номер 24, страница 492 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.15. Примеры решения задач. Упражнение 16 - номер 24, страница 492.

Условие.

24. В широкой части горизонтальной трубы вода течёт со скоростью $8 \text{ см/с}$ при давлении $1,5 \cdot 10^5 \text{ Па}$. В узкой части трубы давление равно $1,4 \cdot 10^5 \text{ Па}$. Найдите скорость течения воды в узкой части трубы. Трение не учитывать.

Решение.

Дано:

$v_1 = 8 \text{ см/с}$

$p_1 = 1,5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$p_2 = 1,4 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:
$v_1 = 8 \text{ см/с} = 0,08 \text{ м/с}$

Найти:

$v_2$ — скорость течения воды в узкой части трубы.

Решение:

Для установившегося течения идеальной жидкости (без учета трения) в горизонтальной трубе применяется уравнение Бернулли, которое связывает давление, скорость и высоту потока. Поскольку труба горизонтальная, высота в широкой и узкой частях одинакова ($h_1 = h_2$), и член уравнения, отвечающий за потенциальную энергию ($\rho gh$), можно сократить. Уравнение принимает вид:

$p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$

где $p_1$ и $v_1$ – давление и скорость воды в широкой части трубы, $p_2$ и $v_2$ – давление и скорость воды в узкой части трубы, а $\rho$ – плотность воды.

Наша цель — найти $v_2$. Выразим член с $v_2$ из уравнения:

$\frac{\rho v_2^2}{2} = p_1 - p_2 + \frac{\rho v_1^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\rho}$:

$v_2^2 = \frac{2(p_1 - p_2)}{\rho} + v_1^2$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти искомую скорость $v_2$:

$v_2 = \sqrt{\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho} + v_1^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot (1,5 \cdot 10^5 \text{ Па} - 1,4 \cdot 10^5 \text{ Па})}{1000 \text{ кг/м}^3} + (0,08 \text{ м/с})^2}$

Выполним вычисления:

$p_1 - p_2 = 0,1 \cdot 10^5 \text{ Па} = 10000 \text{ Па}$

$(0,08 \text{ м/с})^2 = 0,0064 \text{ м}^2/\text{с}^2$

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 10000}{1000} + 0,0064} = \sqrt{\frac{20000}{1000} + 0,0064} = \sqrt{20 + 0,0064} = \sqrt{20,0064} \approx 4,47 \text{ м/с}$

Ответ: скорость течения воды в узкой части трубы составляет примерно $4,47 \text{ м/с}$.