Номер 23, страница 201 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.13. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 23, страница 201.

Условие.

23. Чтобы принять ванну, необходимо нагреть воду объёмом $V = 200 \text{ л}$ от температуры $t_1 = 7 \text{ °С}$ до температуры $t_2 = 47 \text{ °С}$. Если такое количество теплоты сообщить идеальной тепловой машине, работающей при температуре нагревателя $t_2$ и температуре холодильника $t_1$, то с помощью этой машины можно поднять груз массой $m = 4{,}2 \cdot 10^4 \text{ кг}$ на высоту $H = 10 \text{ м}$. Определите по этим данным удельную теплоёмкость воды. Плотность воды $\\rho= 10^3 \text{ кг/м}^3$. Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

$V = 200$ л $= 0.2$ м³

$t_1 = 7$ °C

$t_2 = 47$ °C

$m = 4.2 \cdot 10^4$ кг

$H = 10$ м

$\rho = 10^3$ кг/м³

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{c}$

Решение:

1. Найдём количество теплоты $Q_1$, которое необходимо для нагрева воды. Это же количество теплоты сообщается нагревателю идеальной тепловой машины.

Масса воды $m_{воды}$ вычисляется через её объём $\text{V}$ и плотность $\rho$:

$m_{воды} = \rho \cdot V$

Количество теплоты для нагрева:

$Q_1 = c \cdot m_{воды} \cdot (t_2 - t_1) = c \cdot \rho \cdot V \cdot (t_2 - t_1)$

2. Определим работу $\text{A}$, которую совершает тепловая машина, поднимая груз массой $\text{m}$ на высоту $\text{H}$. Эта работа равна изменению потенциальной энергии груза:

$A = m \cdot g \cdot H$

3. Коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины (работающей по циклу Карно) можно выразить двумя способами:

Через работу $\text{A}$ и полученное от нагревателя количество теплоты $Q_1$:

$\eta = \frac{A}{Q_1}$

И через абсолютные температуры нагревателя $T_2$ и холодильника $T_1$:

$\eta = \frac{T_2 - T_1}{T_2}$

Переведём температуры из градусов Цельсия в Кельвины:

$T_1 = t_1 + 273 = 7 + 273 = 280$ К

$T_2 = t_2 + 273 = 47 + 273 = 320$ К

4. Приравняем два выражения для КПД:

$\frac{A}{Q_1} = \frac{T_2 - T_1}{T_2}$

Подставим в это равенство формулы для работы $\text{A}$ и количества теплоты $Q_1$:

$\frac{m \cdot g \cdot H}{c \cdot \rho \cdot V \cdot (t_2 - t_1)} = \frac{T_2 - T_1}{T_2}$

Заметим, что разность температур в градусах Цельсия равна разности температур в Кельвинах: $t_2 - t_1 = T_2 - T_1$. С учётом этого, преобразуем уравнение:

$\frac{m \cdot g \cdot H}{c \cdot \rho \cdot V \cdot (t_2 - t_1)} = \frac{t_2 - t_1}{T_2}$

Выразим из этого уравнения искомую удельную теплоёмкость воды $\text{c}$:

$c \cdot \rho \cdot V \cdot (t_2 - t_1)^2 = m \cdot g \cdot H \cdot T_2$

$c = \frac{m \cdot g \cdot H \cdot T_2}{\rho \cdot V \cdot (t_2 - t_1)^2}$

5. Подставим числовые значения и вычислим результат:

$c = \frac{4.2 \cdot 10^4 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 10 \text{ м} \cdot 320 \text{ К}}{10^3 \text{ кг/м³} \cdot 0.2 \text{ м³} \cdot (47 \text{ °C} - 7 \text{ °C})^2} = \frac{4.2 \cdot 10^6 \cdot 320}{200 \cdot (40)^2} = \frac{1344 \cdot 10^6}{200 \cdot 1600} = \frac{1344 \cdot 10^6}{320000} = \frac{1.344 \cdot 10^9}{3.2 \cdot 10^5} = 0.42 \cdot 10^4 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Ответ: удельная теплоёмкость воды равна $4200$ Дж/(кг·°C).